Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）直線y=x+1與拋物線相交于A、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，且-1＜m＜3，設(shè)△ADP的面積為S，求S的最大值及對應(yīng)的m值；
（3）點(diǎn)M是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出使△ACM為等腰三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，求出即可；
（2）首先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，進(jìn)而求出
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ=-2m²+4m+6，再利用二次函數(shù)最值求法得出即可；
（3）根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式以及點(diǎn)M在函數(shù)圖象上的性質(zhì)分別分析得出即可．

解答：解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 c=4

，
解得

b=3 c=4

，
∴此拋物線解析式為：y=-x²+3x+4．

（2）由題意得：

y=x+1 y=-x2+3x+4

，
解得：

x1=-1 y1=0

，

x2=3 y2=4

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），
過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AD與點(diǎn)Q，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，
又點(diǎn)P在拋物線y=-x²+3x+4
∴P的縱坐標(biāo)是-m²+3m+4，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也是m，
∵點(diǎn)Q在直線y=x+1上，
∴Q的縱坐標(biāo)是m+1，
∴PQ=（-m²+3m+4）-（m+1）=-m²+2m+3，
S_△ADP=S_△APQ+S_△DPQ，
=

1

2

(-m2+2m+3)[m-(-1)]+

1

2

(-m2+2m+3)(3-m)，
=

1

2

(-m2+2m+3)×4，
=-2m²+4m+6，
=-2（m-1）²+8，
當(dāng)m=1，△ADP的面積S的最大值為8．

（3）M1(

34

2

-1，

34

2

)，M2(-

34

2

-1，-

34

2

)，M3(4，5)，M4(

7

10

，

17

10

)．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離求法等知識，二次函數(shù)這部分經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)注意不要漏解．