Question

如圖，設(shè)△ABC內(nèi)切圓I與AB，AC邊相切于E，F(xiàn)．射線BI，CI分別交EF于N，M，試證四邊形AMIN與△IBC面積相等．

Answer 1

考點：面積及等積變換,四點共圓,等腰三角形的性質(zhì),圓的綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接AI、BM、IE、IG，易證AI⊥EF，IE=IG，IG⊥BC，要證四邊形AMIN與△IBC面積相等，只需證IG•BC=MN•IA，由于IE=IG，只需證IE•BC=MN•IA，即證

IE

IA

=

MN

BC

．易證∠BEM=90°+

1

2

∠BAC=∠BIC，則有B、I、M、E四點共圓，從而可得∠BMI=∠BEI=90°，∠IMN=∠EBI=∠IBC，∠MEI=∠MBI，從而可證到△BMI∽△AEI，△MIN∽△BIC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

IE

IA

=

IM

IB

=

MN

BC

，問題得以解決．

解答：證明：連接AI、BM、IE、IG，如圖．
∵△ABC內(nèi)切圓I與AB、AC、BC邊相切于E、F、G，
∴AE=AF，AI平分∠EAF，IE⊥AB，IG⊥BC，IE=IG，
∴AI⊥EF，∠EAI=

1

2

∠BAC，∠AEI=90°，
∴∠BEM=∠AHE+∠EAH=90°+

1

2

∠BAC．
∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠IBC=∠IBA=

1

2

∠ABC，∠ICB=∠ICA=

1

2

∠ACB，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠BAC）
=90°+

1

2

∠BAC，
∴∠BEM=∠BIC，
∴B、I、M、E四點共圓，
∴∠BMI=∠BEI=90°，∠IMN=∠EBI=∠IBC，∠MEI=∠MBI，
∴∠AIE=90°-∠IEH=90°-∠IBM=∠MIB．
∵∠AEI=∠BMI=90°，∠MIB=∠AIE，
∴△BMI∽△AEI，
∴

IM

IB

=

IE

IA

．
∵∠IMN=∠IBC，∠MIN=∠BIC，
∴△MIN∽△BIC，
∴

IM

IB

=

MN

BC

∴

IE

IA

=

MN

BC

，
∴IE•BC=MN•IA．
∵IE=IG，
∴IG•BC=MN•IA，
∴

1

2

IG•BC=

1

2

MN•IA，
∴S_△IBC=S_{四邊形AMIN}．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)、切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、內(nèi)切圓等知識，綜合性比較強，有一定的難度，而證到△BMI∽△AEI及△MIN∽△BIC則有解決本題的關(guān)鍵．