在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐上,且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(,0),如圖所示:拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(1)(-3,1);(2)y=x2+x-2;(3)P1(1,-1)、P2(2,1).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關(guān)系,易得B到x、y軸的距離,即B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)拋物線過(guò)B點(diǎn)的坐標(biāo),可得a的值,進(jìn)而可得其解析式;
(3)首先假設(shè)存在,分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.
試題解析:(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸,垂足為D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,1);
(2)拋物線y=ax2+ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-3,1),則得到1=9a-3a-2,
解得a=,
所以拋物線的解析式為y=x2+x-2;
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:
①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn);則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,
過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸,
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC.
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得點(diǎn)P1(1,-1);
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn);
則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,
過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得點(diǎn)P2(2,1),
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)P1(1,-1)與點(diǎn)P2(2,1)都在拋物線y=x2+x-2上.
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.
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