Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，AD=AC，BE⊥AD于E
（1）求證：AB-AC=2DE；
（2）求證：AB+AC=2AE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F使得DE=EF，BD=BF，即可求得∠F=∠BDF=∠ADC=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABF=∠C=∠F，可得AB=AF，即可解題；
（2）根據(jù)AE=AD+DE，AE=AF-EF和DE=DF即可求得2AE=AD+AF，再根據(jù)（1）中求得AB=AF即可解題．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F使得DE=EF，

∵DE=EF，BE⊥DE，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵∠ADC=∠BDC，
∴∠F=∠BDF=∠ADC=∠C，
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∠BAD+∠F+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠C=∠F，
∴AB=AF，
∴AB-AC=AF-AD=DF=2DE；
（2）∵AE=AD+DE，AE=AF-EF，DE=EF，
∴2AE=AD+DE+AF-EF=AD+AF，
∵AF=AB，AC=AD，
∴2AE=AC+AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，本題中求得∠F=∠ABF是解題的關(guān)鍵．