Question

【題目】如圖，圖1中ΔABC是等邊三角形，DE是中位線(xiàn)，F是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE，EF.

圖1 圖2

(1)求證：BE=EF；

(2)若將DE從中位線(xiàn)的位置向上平移，使點(diǎn)D、E分別在線(xiàn)段AB、AC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，其他條件不變，如圖2，則(1)題中的結(jié)論是否成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立.請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)結(jié)論仍然成立；(3)

【解析】

(1)利用等邊三角形的性質(zhì)以及三線(xiàn)合一證明得出結(jié)論;

(2)由中位線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)證明

(1)證明：∵ΔABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC

∵DE是中位線(xiàn)，

∴E是AC的中點(diǎn)，

∴BE平分∠ABC，AE=EC

∴∠EBC=∠ABC=

∵AE=CF，

∴CE=CF，

∴∠CEF=∠F

∵∠CEF+∠F=∠ACB=，

∴∠F=，

∴∠EBC=∠F，

∴BE=EF

(2)結(jié)論仍然成立.

∵DE是由中位線(xiàn)平移所得；

∴DE//BC，

∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=，

∴ΔADE是等邊三角形，

∴DE=AD=AE，

∵AB=AC，

∴BD=CE，

∵AE=CF，

∴DE=CF

∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=，

∴∠FCE=∠EDB，

∴ΔBDE≌ΔECF，

∴BE=EF