Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-2x+4分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)C（-3，0）在x軸上，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線PQ⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)P，連接PC，PO．
（1）設(shè)△COP的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)過程中，△CQP能否構(gòu)成等腰直角三角形？若能求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，-2x+4），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和三角形面積公式可得S=

1

2

×3×|-2x+4|，再分當(dāng)0＜x＜2時(shí)；當(dāng)x＞2時(shí)；兩種情況討論得到S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PQ=CQ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得CQ=x-（-3）=x+3，PQ=|-2x+4|，再分當(dāng)0＜x＜2時(shí)；當(dāng)x＞2時(shí)；兩種情況討論得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，則-2x+4=0，解得x=2，
設(shè)P（x，-2x+4），則PQ=|-2x+4|，
∵C（-3，0），
∴OC=3，
∴S=

1

2

OC•PQ=

1

2

×3×|-2x+4|，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，S=

1

2

×3×（-2x+4）=-3x+6；
當(dāng)x＞2時(shí)，S=

1

2

×3×（2x-4）=3x-6．
故S=

-3x+6(0＜x＜2) 3x-6(x＞2)

．

（2）∵△CQP是以Q為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴PQ=CQ，
CQ=x-（-3）=x+3，
PQ=|-2x+4|，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，x+3=-2x+4，解得x=

1

3

，-2x+4=

10

3

，
∴P（

1

3

，

10

3

）；
當(dāng)x＞2時(shí)，x+3=2x-4，解得x=7，-2x+4=-10，
∴P（7，-10）．
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

3

，

10

3

）或（7，-10）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，兩點(diǎn)間的距離，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及分類思想的運(yùn)用，難度較大．