Question

如圖，在等邊△ABC中，已知AB=8cm，線段AM為BC邊上的中線．點(diǎn)N在線段AM上，且MN=3cm，動點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動，連接CD，△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到的．以點(diǎn)C圓心，以CN為半徑作⊙C與直線BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)．

（1）填空：∠DCE=______度，CN=______cm，AM=______cm．
（2）如圖1當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上運(yùn)動時(shí)，求出PQ的長．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在MA的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D2中畫出示意圖，并直接寫出PQ=______cm．
當(dāng)點(diǎn)D在AM的延長線上時(shí)，請?jiān)趫D3中畫出示意圖，并直接寫出PQ=______cm．

Answer 1

解：（1）∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠CAD=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°；
∵△ABC是等邊三角形，AM為BC邊上的中線，
∴BC=AB=8cm，
CM=BC=×8=4cm，
在Rt△CMN中，CN===5cm；
在Rt△ACM中，AM===4cm；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥PQ于F，
∵△ABC是等邊三角形，AM為BC邊上的中線，
∴∠CAD=∠BAC=×60°=30°，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴CF=BC=×8=4cm，
連接CP，則PC=CN=5cm，
在Rt△PCF中，PF===3cm，
由垂徑定理得，PQ=2PF=2×3=6cm；

（3）①如圖，點(diǎn)D在MA的延長線上時(shí)，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBQ=∠CAM=30°，
與（2）同理可求PQ=6cm，
②如圖，點(diǎn)D在AM的延長線上時(shí)，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
與（2）同理可求PQ=6cm，
綜上所述，PQ的長度不變都是6cm．
故答案為：（1）60，5，4；（3）6，6．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD=∠BCE，然后求出∠DCE=∠ACB，從而得解；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CM=BC，再利用勾股定理列式計(jì)算即可求出CN；在Rt△ACM中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AM；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥PQ于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD=30°．根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CF=BC，連接CP，利用勾股定理列式求出PF，再根據(jù)垂徑定理可得PQ=2PF，從而得解；
（3）①點(diǎn)D在MA的延長線上時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBQ=∠CAM=30°，與（2）同理可求PQ；
②點(diǎn)D在AM的延長線上時(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CBE=∠CAD=30°，與（2）同理可求PQ．
點(diǎn)評：本題是圓的綜合題型，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟記各性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．