【題目】 如圖1:已知直線與軸,軸分別交于,兩點,以為直角頂點在第一象限內(nèi)做等腰Rt△.
(1)求,兩點的坐標(biāo);
(2)求所在直線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)如圖2,直線交軸于點,在直線上取一點,使,與軸相交于點.
①求證:;
②在軸上是否存在一點,使△的面積等于△的面積?若存在,直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)A(0,2),B(1,0);(2)直線BC所在直線解析式為y=x-.(3)①證明見解析;②點P的坐標(biāo)為(,0)或(-,0).
【解析】
(1)y=-2x+2中求出x=0時y的值和y=0時x的值即可得;
(2)作CD⊥x軸,證△ABO≌△BCD得BD=OA=2,CD=OB=1,據(jù)此可得C(3,1),再根據(jù)待定系數(shù)法求解可得;
(3)①作CG⊥x軸,EM⊥x軸,EN⊥y軸,先證△BCG≌△BEM得BM=BG=2,EM=CG=1,進(jìn)一步求得OM=EN=OB=1,再證△BDO≌△EDN得BD=ED;
②作EH⊥x軸,先求出S△ABD=ADOB=,再求出直線AE解析式為y=3x+2,得到F(-,0),設(shè)P(a,0),知PF=|--a|,依據(jù)S△APE=S△APF+S△EPF=PF(EH+AO)=|+a|,根據(jù)S△ABD=S△APE得出關(guān)于a的方程,解之可得答案.
(1)y=-2x+2中,當(dāng)x=0時y=2,
則A(0,2),
當(dāng)y=0時,-2x+2=0,解得x=1,
則B(1,0);
(2)如圖①,過點C作CD⊥x軸于點D,
則∠AOB=∠BDC=90°,
∴∠OAB+∠ABO=90°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBD=90°,
∴∠OAB=∠DBC,
∴△ABO≌△BCD(AAS),
∴BD=OA=2,CD=OB=1,
則點C(3,1),
設(shè)直線BC所在直線解析式為y=kx+b,
將點B(1,0)、C(3,1)代入,得:,
解得,
∴直線BC所在直線解析式為y=x-.
(3)①過點C作CG⊥x軸于點G,作EM⊥x軸于點M,EN⊥y軸于點N,
則∠BGC=∠BME=∠END=∠BOD=90°,
∵∠ABC=90°,且AE=AC,
∴AB是CE的中垂線,
∴BC=BE,
∵∠CBG=∠EBM,
∴△BCG≌△BEM(AAS),
∴BM=BG=2,EM=CG=1,
∵BO=1,
∴OM=EN=OB=1,
∵∠BDO=∠EDN,
∴△BDO≌△EDN(AAS),
∴BD=ED;
②如圖③,作EH⊥x軸于點H,
由y=x-知D(0,-),即OD=,
則AD=OA+OD=,
∴S△ABD=ADOB=××1=,
由①知E(-1,-1),
根據(jù)A(0,2)、E(-1,-1)得直線AE解析式為y=3x+2,
當(dāng)y=0時,3x+2=0,解得x=-,
∴F(-,0),
設(shè)P(a,0),
∴PF=|--a|,
則S△APE=S△APF+S△EPF
=PF(EH+AO)
=|--a|×3
=|+a|,
∵S△ABD=S△APE,
∴|+a|=,
解得a=或a=-,
∴點P的坐標(biāo)為(,0)或(-,0).
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【題目】如圖,在半圓O中,直徑AE=10,四邊形ABCD是平行四邊形,且頂點A、B、C在半圓上,點D在直徑AE上,連接CE,若AD=8,則CE長為 .
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【題目】如圖1是兩塊等邊△ABC和等邊△CDE的紙片疊放在一起的圖形.
(1)如圖2,固定△ABC,將△CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°,連接AD,BE,則線段BE,AD之間的大小關(guān)系如何?證明你的結(jié)論;
(2)如圖3,若將△CDE繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度(小于180°),連接AD,BE,則線段BE,AD之間大小關(guān)系如何?證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線BE與∠ACB外角的平分線CE交于點E.
(1)如圖1,若∠BAC=40°,則∠BEC= °
(2)如圖2,將∠BAC變?yōu)?/span>60°,則∠BEC= °,寫出∠BAC與∠BEC的關(guān)系;并說明你的理由
(3)在圖1的基礎(chǔ)上過點E分別作EN⊥BA于N,EQ⊥AC于Q,EM⊥BD于M,如圖3,
求證:△ANE≌AQE,并求出∠NAE的度數(shù).
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【題目】如圖,已知正方形的邊長為,點,,,分別在正方形的四條邊上,且,則四邊形的形狀為________,它的面積的最小值為________.
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【題目】正方形網(wǎng)格中,每個小格的頂點叫做格點.當(dāng)所作正方形邊上的點剛好在格點上的點稱為整點.如圖中四條邊上的整點共有個;四條邊上的整點共有個.請你觀察圖中正方形四條邊上的整點的個數(shù)…按此規(guī)律,推算出正方形四條邊上的整點共有________個.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是x=-1.下列結(jié)論:①ab>0;②b2>4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是( )
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【題目】請你用學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時積累的經(jīng)驗和方法研究函數(shù)的圖象和性質(zhì),并解決問題.
完成下列步驟,畫出函數(shù)的圖象;
列表、填空;
x | 0 | 1 | 2 | 3 | |||||
y | 3 | ______ | 1 | ______ | 1 | 2 | 3 |
描點:
連線
觀察圖象,當(dāng)x______時,y隨x的增大而增大;
結(jié)合圖象,不等式的解集為______.
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【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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