Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx-2k+6經(jīng)過定點Q．
（1）直接寫出點Q的坐標

 

；
（2）點M在第一象限內(nèi)，∠QOM=45°，若點M的橫坐標與點Q的縱坐標相等（如圖1），求直線QM的解析式；
（3）在（2）條件下，過點M作MA⊥x軸于點A，過點Q作QB⊥y軸于點B，點E為第一象限內(nèi)的一動點，∠AEO=45°，點C為OB的中點（如圖2），求線段CE長度的最大值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，則當x-2=0，即x=2時，y的值與k無關(guān)，據(jù)此即可求得G的坐標；
（2）延長BQ，AM交于點F．連接OF，作QG⊥OF于點G，證明△OQG∽△OMA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求得AE的長，則E的坐標可以求得，然后利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）E在圓心在OA的上邊，且弦OA所對的圓心角是90°的圓上，據(jù)此即可求得圓心的坐標，從而求解．

解答：解：（1）y=kx-2k+6=k（x-2）+6，
則當x-2=0，即x=2時，y的值與k無關(guān)，
則G的坐標是（2，6）；
（2）延長BQ，AM交于點F．連接OF，作QG⊥OF于點G．
則四邊形AOBF是正方形，△QFG是等腰直角三角形，且OA=OB=BF=AF=6，BQ=2，
則QF=4，
∴QG=QF×

2

2

=4×

2

2

=2

2

，
在直角△OBQ中，OQ=

OB2+BQ2

=

62+22

=2

10

，
∴直角△OQG中，OG=

OQ2-QG2

=

40-8

=4

2

．
∵正方形AOBF中，∠AOB=90°，∠AOF=45°，
又∵∠QOM=45°，
∴∠QOG+∠FOM=∠FOM+∠AOM=45°，
∴∠QOG=∠AOM，
又∵∠OGQ=∠AOM
∴△OQG∽△OMA，
∴

QG

AM

=

OG

OA

，即

2 2

AM

=

4 2

8

，
∴AM=4，
∴M的坐標是（6，4）．
設(shè)直線QM的解析式是y=kx+b，
則

2k+b=6 6k+b=4

，
解得：

k=- 1 2 b=7

，
則直線的解析式是：y=-

1

2

x+7；
（3）∵∠AEO=45°，
∴E在圓心在OA的上邊，且弦OA所對的圓心角是90°的圓上，設(shè)圓心是N，則N的坐標是（3，3），圓的半徑是3

2

，
又∵點C為OB的中點，
∴C的坐標是（0，3），
則CN∥x軸，
則當E是CN的延長線與圓N的交點時，線段CE最長，則最大的長度是：3+3

2

．

點評：本題考查了一次函數(shù)、正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確證明△OQG∽△OMA，以及確定E的位置是關(guān)鍵．