Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（-3,0），且OB=OC，

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）拋物線上兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為m+4.點(diǎn)D是拋物線上M，N之間的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線交MN于點(diǎn)E.

①求DE的最大值.

②點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)為F.當(dāng)m為何值時，四邊形MDNF為矩形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為或或或；（3）①當(dāng)時，最大值為4，②當(dāng)或時，四邊形MDNF為矩形.

【解析】

（1）已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x+3）；由OC=OB=3得C（0，-3），代入交點(diǎn)式即求得a=-1．

（2）由∠POB=∠ACB聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形，因?yàn)榍簏c(diǎn)P坐標(biāo)一般會作x軸垂線PH得Rt△POH，故可過點(diǎn)A在BC邊上作垂線AG，構(gòu)造△ACG∽△POH．利用點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求得AG、CG的長，由相似三角形對應(yīng)邊成比例推出．設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為p，則OH與PH都能用p表示，但需按P橫縱坐標(biāo)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論．得到用p表示OH與PH并代入OH=2PH計(jì)算即求得p的值，進(jìn)而求點(diǎn)P坐標(biāo)．
（3）①用m表示M、N橫縱坐標(biāo)，把m當(dāng)常數(shù)求直線MN的解析式．設(shè)D橫坐標(biāo)為t，把x=t代入直線MN解析式得點(diǎn)E縱坐標(biāo)，D與E縱坐標(biāo)相減即得到用m、t表示的DE的長，把m當(dāng)常數(shù)，對未知數(shù)t進(jìn)行配方，即得到當(dāng)t=m+2時，DE取得最大值．
②由矩形MDNF得MN=DF且MN與DF互相平分，所以E為MN中點(diǎn)，得到點(diǎn)D、E橫坐標(biāo)為m+2．由①得d=m+2時，DE=4，所以MN=8．用兩點(diǎn)間距離公式用m表示MN的長，即列得方程求m的值．

解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（-3，0）
∴設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x+3）
∵OC=OB=3，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸
∴C（0，-3）
把點(diǎn)C代入拋物線解析式得：3a=-3
∴a=-1
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x+3）=-x2-4x-3

（2）如圖1，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H

∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB
∴△ACG∽△POH

∵OB=OC=3，∠BOC=90°
∴∠ABC=45°，

∴△ABG是等腰直角三角形

∴OH=2PH
設(shè)P（p，-p2-4p-3）
①當(dāng)p＜-3或-1＜p＜0時，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)或在AC之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)
∴OH=-p，PH=-（-p2-4p-3）=p2+4p+3
∴-p=2（p2+4p+3）

解得：

或

②當(dāng)-3＜p＜-1或p＞0時，點(diǎn)P在AB之間或在點(diǎn)C右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號
∴p=2（p2+4p+3）
解得：p1=-2，p2=-

∴P（-2，1）或

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；

（3）①如圖2，

∵x=m+4時，y=-（m+4）2-4（m+4）-3=-m2-12m-35
∴M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）
設(shè)直線MN解析式為y=kx+n

∴

解得：

∴直線MN：y=（-2m-8）x+m2+4m-3
設(shè)D（t，-t2-4t-3）（m＜t＜m+4）
∵DE∥y軸
∴xE=xD=t，E（t，（-2m-8）t+m2+4m-3）
∴DE=-t2-4t-3-[（-2m-8）t+m2+4m-3]=-t2+（2m+4）t-m2-4m=-[t-（m+2）]2+4
∴當(dāng)t=m+2時，DE的最大值為4．

②如圖3，

∵D、F關(guān)于點(diǎn)E對稱
∴DE=EF
∵四邊形MDNF是矩形
∴MN=DF，且MN與DF互相平分

∴DE= MN，E為MN中點(diǎn)

由①得當(dāng)d=m+2時，DE=4
∴MN=2DE=8
∴（m+4-m）2+[-m2-12m-35-（-m2-4m-3）]2=82
解得：

∴m的值為或時，四邊形MDNF為矩形．