Question

【題目】如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在軸的正半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出下列結論：①點A從點O出發(fā)，到點B運動至點O為止，點E經(jīng)過的路徑長為12π；②△OAB的面積的最大值為144；③當OD最大時，點D的坐標為，其中正確的結論是_________（填寫序號）.

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①由條件可知AB=24，則AB的中點E的運動軌跡是圓弧，最后根據(jù)弧長公式即可計算出點E所經(jīng)過的路徑長；②當△OAB的面積最大時，因為AB=24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB，可求出最大面積為144；③當O、E、D三點共線時，OD最大，過點D作DF⊥y軸于點F，可求出OD=25，證明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA，可求出DF長，則D點坐標可求出．

解：∵點E為AB的中點，AB=24，

∴AB的中點E的運動軌跡是以點O為圓心，12為半徑的一段圓弧，
∵∠AOB=90°，
∴點E經(jīng)過的路徑長為，故①錯誤；

當△OAB的面積最大時，因為AB=24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB，
∵E為AB的中點，

，故②正確；

如圖，當O、E、D三點共線時，OD最大，過點D作DF⊥y軸于點F，

∴OD=DE+OE=13+12=25，
設DF=x，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DFA=∠AOB，
∴∠DAF=∠ABO，
∴△DFA∽△AOB

∵E為AB的中點，∠AOB=90°，
∴AE=OE，
∴∠AOE=∠OAE，
∴△DFO∽△BOA，

解得舍去，

，故③正確．

故答案為：②③．