Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊AD上一點(diǎn)，連結(jié)FE并廷長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BF、BE．且BE⊥FG；
（1）求證：BF=BG．
（2）若tan∠BFG=

3

，S_△CGE=6

3

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）證明△EDF≌△ECG，則EF=EG，即可證得BE是FG的中垂線，根據(jù)線段的中垂線的性質(zhì)即可證得；
（2）根據(jù)∠BFG=∠G，在直角△ECG中，根據(jù)正切的定義即可求得邊長(zhǎng)的比值，然后根據(jù)面積，即可求得CG的長(zhǎng)，然后根據(jù)EC是直角△BGE的斜邊上的高線，利用射影定理即可求得BC，即可求得AD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DCG=90°．
在△EDF和△ECG中，

∠D=∠DCG DE=CE ∠DEF=∠CEG

∴△EDF≌△ECG
∴EF=EG
∵BE⊥FG
∴BE是FG的中垂線，
∴BF=BG；
（2）解：∵BF=BG
∴∠BFG=∠G
∴tan∠BFG=tan∠G=

3

設(shè)CG=x，CE=

3

x，
則S△CGE=

3

2

x2=6

3

，
解得：x=2

3

∴CG=2

3

，CE=6
由射影定理得：EC²=BC•CG，
∴BC=6

3

∴AD=6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，射影定理的應(yīng)用，正確證明BE是FG的中垂線是關(guān)鍵．