Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形AOCB的邊長為6，O為坐標原點，邊OC在x軸的正半軸上，邊OA在y軸的正半軸上，E是邊AB上的一點，直線EC交y軸于F，且S_△FAE：S_{四邊形AOCE}=1：3．
（1）求出點E的坐標；
（2）求直線EC的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）∵S_△FAE：S_{四邊形AOCE}=1：3，
∴S_△FAE：S_△FOC=1：4，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴AB∥OC，
∴△FAE∽△FOC，
∴AE：OC=1：2，
∵OA=OC=6，
∴AE=3，
∴點E的坐標是（3，6）．

（2）設直線EC的解析式是y=kx+b，
∵直線y=kx+b過E（3，6）和C（6，0），
∴，解得：．
∴直線EC的解析式是y=-2x+12．
分析：（1）因為S_△FAE：S_{四邊形AOCE}=1：3，所以可得S_△FAE：S_△FOC=1：4，利用四邊形AOCB是正方形，可得AB∥OC，△FAE∽△FOC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得到AE：OC=1：2，結合正方形的邊長即可求出AE=3，所以點E的坐標是（3，6）；
（2）可設直線EC的解析式是y=kx+b，因為直線y=kx+b過E（3，6）和C（6，0），利用待定系數(shù)法即可求出直線EC的解析式．
點評：本題需利用待定系數(shù)法和相似三角形的性質來解決問題，另外本題也是一道綜合性較強的題目，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結合、方程和轉化等數(shù)學思想方法．