(1999•河北)如圖,這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖,橫斷面的地平線為x軸,橫斷面的對稱軸為y軸.橋拱的DGD′部分為一段拋物線,頂點G的高度為8米,AD和A′D′的兩側(cè)高為5.5米的支柱,OA和OA′為兩個方向的汽車通行區(qū),寬都為15米,線段CD和C′D′為兩段對稱的上橋斜坡,其坡度為1:4.
(1)求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長;
(2)BE和B′E′為支撐斜坡的立柱,其高都為4米,相應(yīng)的AB和A′B′為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū).試求AB和A′B′的寬;
(3)按規(guī)定,汽車通過該橋下時,載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米.今有一大型運貨汽車,裝載某大型設(shè)備后,其寬為4米,車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米.它能否從OA(或OA′)區(qū)域安全通過?請說明理由.

【答案】分析:(1)拋物線的對稱軸是y軸,因而解析式一定是y=ax2+c的形式,根據(jù)條件可以求得拋物線上G,D的坐標(biāo)分別是(0,8)和(15,5.5),利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)根據(jù)坡度的定義,即垂直高度與水平寬度的比,即可求解;
(3)在拋物線解析式中,令x=4,得到的函數(shù)值與7+0.4=7.4米,進行比較即可判斷.
解答:解:(1)設(shè)DGD′所在的拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+c.
由題意得G(0,8),D(15,5.5).

解得
∴DGD′所在的拋物線的解析式為y=-x2+8(4分)
,且AD=5.5,
∴AC=5.5×4=22(米)
∴CC′=2OC=2×(OA+AC)=2×(15+22)=74(米).
答:CC′的長為74米.(6分)

(2)∵,BE=4
∴BC=16(8分)
∴AB=AC-BC=22-16=6(米).
答:AB和A′B′的寬都是6米.(10分)

(3)答:該大型貨車可以從OA(或OA′)區(qū)域安全通過.(11分)
在y=-x2+8中,當(dāng)x=4時,
y=-×16+8=7(13分)
∵7-(7+0.4)=>0
該大型貨車可以從OA(或OA′)區(qū)域安全通過.(14分)
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,以及坡度的定義,利用二次函數(shù)解決形狀是拋物線的物體的計算問題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求證:點Q為△COP的外心;
(2)求正方形OABC的邊長;
(3)當(dāng)⊙Q與AB相切時,求點P的坐標(biāo).


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(1)求證:點Q為△COP的外心;
(2)求正方形OABC的邊長;
(3)當(dāng)⊙Q與AB相切時,求點P的坐標(biāo).

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(1)求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長;
(2)BE和B′E′為支撐斜坡的立柱,其高都為4米,相應(yīng)的AB和A′B′為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū).試求AB和A′B′的寬;
(3)按規(guī)定,汽車通過該橋下時,載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米.今有一大型運貨汽車,裝載某大型設(shè)備后,其寬為4米,車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米.它能否從OA(或OA′)區(qū)域安全通過?請說明理由.

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