Question

（1999•河北）如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，橫斷面的地平線(xiàn)為x軸，橫斷面的對(duì)稱(chēng)軸為y軸．橋拱的DGD′部分為一段拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)G的高度為8米，AD和A′D′的兩側(cè)高為5.5米的支柱，OA和OA′為兩個(gè)方向的汽車(chē)通行區(qū)，寬都為15米，線(xiàn)段CD和C′D′為兩段對(duì)稱(chēng)的上橋斜坡，其坡度為1：4．
（1）求橋拱DGD′所在拋物線(xiàn)的解析式及CC′的長(zhǎng)；
（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB和A′B′為兩個(gè)方向的行人及非機(jī)動(dòng)車(chē)通行區(qū)．試求AB和A′B′的寬；
（3）按規(guī)定，汽車(chē)通過(guò)該橋下時(shí)，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米．今有一大型運(yùn)貨汽車(chē)，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4米，車(chē)載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米．它能否從OA（或OA′）區(qū)域安全通過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，因而解析式一定是y=ax²+c的形式，根據(jù)條件可以求得拋物線(xiàn)上G，D的坐標(biāo)分別是（0，8）和（15，5.5），利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)坡度的定義，即垂直高度與水平寬度的比，即可求解；
（3）在拋物線(xiàn)解析式中，令x=4，得到的函數(shù)值與7+0.4=7.4米，進(jìn)行比較即可判斷．
解答：解：（1）設(shè)DGD′所在的拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=ax²+c．
由題意得G（0，8），D（15，5.5）．
∴
解得
∴DGD′所在的拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+8（4分）
∴，且AD=5.5，
∴AC=5.5×4=22（米）
∴CC′=2OC=2×（OA+AC）=2×（15+22）=74（米）．
答：CC′的長(zhǎng)為74米．（6分）

（2）∵，BE=4
∴BC=16（8分）
∴AB=AC-BC=22-16=6（米）．
答：AB和A′B′的寬都是6米．（10分）

（3）答：該大型貨車(chē)可以從OA（或OA′）區(qū)域安全通過(guò)．（11分）
在y=-x²+8中，當(dāng)x=4時(shí)，
y=-×16+8=7（13分）
∵7-（7+0.4）=＞0
該大型貨車(chē)可以從OA（或OA′）區(qū)域安全通過(guò)．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及坡度的定義，利用二次函數(shù)解決形狀是拋物線(xiàn)的物體的計(jì)算問(wèn)題．