Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分線，AD與CE相交于點F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分別為M，N.求證：FE＝FD.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：連結(jié)BF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可到FM=FN，再求得∠NEF=75°=∠MDF，即可證明△EFM≌△DFN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FE=FD．

試題解析：

連結(jié)BF.

∵F是∠BAC與∠ACB的平分線的交點，

∴BF是∠ABC的平分線．

又∵FM⊥AB，FN⊥BC，

∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∴∠DAC＝∠BAC＝15°，

∴∠CDA＝75°.

易得∠ACE＝45°，

∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACF＝75°，

即∠NDF＝∠MEF＝75°.

在△DNF和△EMF中，∵

∴△DNF≌△EMF(AAS)．

∴FE＝FD.