Question

已知整數(shù)a，b滿足|a-b|+（a+b）²=p，且p是質(zhì)數(shù)，則符合條件的整數(shù)對(duì)有

 

對(duì)．

Answer 1

分析：由于a+b+a-b=2a，而2a為偶數(shù)，由此得到|a+b|+（a-b）²=P必為偶數(shù)．在質(zhì)數(shù)中，唯一的偶質(zhì)數(shù)只有2一個(gè)，故P=2．然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)討論即可得到a、b的取值，接著就可以解決問題．

解答：解：∵a+b+a-b=2a，而2a為偶數(shù)，
∴|a+b|+（a-b）²=P必為偶數(shù)．
在質(zhì)數(shù)中，唯一的偶質(zhì)數(shù)只有2一個(gè)，
故P=2．
則|a+b|+（a-b）²=2，
∵任何整數(shù)的平方最小是0，然后是1，4，9…，
∴此處的（a-b）²只有0和1兩個(gè)選擇：
①當(dāng)（a-b）²=0，則|a+b|=2，
解得：a=b，所以|2b|=2，|b|=1，則a=b=±1；
②（a-b）²=1，則|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
組成4個(gè)方程組：
 

a-b=1 a+b=1

，
解之得：a=1，b=0；

a-b=1 a+b=-1

，
解之得：a=0，b=-1；

a-b=-1 a+b=1

，
解之得：a=0，b=1；

a-b=-1 a+b=-1

，
解之得：a=-1，b=0．
∴符合條件的整數(shù)對(duì)（a，b）共有6對(duì)：（1，1）（-1，-1）（1，0）（0，-1）（0，1）（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)首先利用偶質(zhì)數(shù)2的性質(zhì)得到關(guān)于ab的方程組，然后解方程組即可求解．