Question

已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧上取一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于點G，交⊙O于H．

（1）求證：AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．

Answer 1

【考點】圓周角定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）連接AD，由圓周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）由∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的長，進(jìn)而求出BC的長，由已知的一對角線段和公共角，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形BCE與三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的長．

【解答】（1）證明：連接AD，

∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，

∴∠DAC=∠EBC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°﹣（∠EBC+∠DCA）=180°﹣90°=90°，

∴AC⊥BH；

 

（2）解：∵∠BDA=180°﹣∠ADC=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°，

∴BD=AD，

∵BD=8，∴AD=8，

在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，

根據(jù)勾股定理得：DC=6，則BC=BD+DC=14，

∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，

∴△BCE∽△ECD，

∴，即CE²=BC•CD=14×6=84，

∴CE==2．

【點評】本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．