Question

如圖1，已知梯形ABCD，AD∥BC，對角線AC、BD互相垂直，則：
（1）證明：AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）如圖2，當△AOD以點O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)θ度（0＜θ＜90），問上面的結(jié)論是否成立，請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）如圖1，證明AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²；證明AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²，得到AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）如圖2，作輔助線；證明△AOM∽△DON，得到

AO

DO

=

OM

ON

①；證明△AOD∽△COB，

AO

CO

=

DO

BO

，

AO

DO

=

CO

BO

②，進而得到

OM

ON

=

CO

BO

，故OB•OM=OC•ON．證明AB²=BM²+AM²=OA²+OB²-2OB•OM③，同理可求：CD²=OC²+OD²+2OC•ON④，由③+④得：AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²；而AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²，得到AD²+BC²=AB²+CD²．

解答：解：（1）如圖1，∵AC⊥BD，
∴AD²=OA²+OD²，BC²=OB²+OC²，
∴AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²；
同理可證：
AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）結(jié)論AD²+BC²=AB²+CD²，仍然成立；
理由如下：
如圖2，過點A作AM⊥BO，過點D作DN⊥CO，
交CO的延長線于點N；
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOB+∠DOC=180°；而∠DON+∠DOC=180°，
∴∠AOB=∠DON，即∠AOM=∠DON，
∴△AOM∽△DON，
∴

AO

DO

=

OM

ON

①；在圖1中，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO；在圖2中，由題意得：
∠ADO=∠CBO，∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△COB，
∴

AO

CO

=

DO

BO

，

AO

DO

=

CO

BO

②，
由①②知：

OM

ON

=

CO

BO

，
∴OB•OM=OC•ON．
由題意得：AB²=BM²+AM²
=（BO-OM）²+AO²-MO²
=OB²-2OB•OM+OM²+OA²-OM²
=OA²+OB²-2OB•OM③，
同理可求：CD²=OC²+OD²+2OC•ON④，
∴由③+④得：
AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²；
而AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²．

點評：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形結(jié)構(gòu)特點，數(shù)形結(jié)合，準確找出圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系．