Question

某同學在學習過程中，遇到這樣的問題：求A=48×(

1

32-4

+

1

42-4

+…+

1

1002-4

)的整數(shù)部分．百思而不得其解，于是向老師求教．數(shù)學老師進行了深入淺出的講解：觀察算式中每個分母中減數(shù)都是4，且被減數(shù)都在遞增；
先看一般情形：

1

a2-4

=…=

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)
再看特殊情形：
當a=3時，

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

當a=4時，

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

老師講解到這里時，該同學說：“老師我知道怎么做了”
（1）請你通過化簡，說明一般情形

1

4

(

1

a-2

-

1

a+2

)=

1

a2-4

的正確性；
（2）請你完成該同學的解答．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)整式的加減法則把分式進行化簡即可；
（2）根據(jù)題中所給出的式子把原式進行化簡，求出A最接近的整數(shù)即可．

解答：解：（1）∵左邊=

1

4

×（

a+2

(a+2)(a-2)

-

a-2

(a+2)(a-2)

）
=

1

4

×

a+2-a+2

(a+2)(a-2)

=

1

4

×

4

a2-4

=

1

a2-4

，
∴左邊=右邊，即原式成立；

（2）∵

1

a2-4

=

1

4

（

1

a-2

-

1

a+2

），
∴A=48×

1

4

[（1+

1

2

+…+

1

98

）-（

1

5

+

1

6

+…+

1

102

）]
=12×（1+

1

2

+

1

3

+

1

4

-

1

99

-

1

100

-

1

101

-

1

102

）
=25-12×（

1

99

+

1

100

+

1

101

+

1

102

）
∵12×（

1

99

+

1

100

+

1

101

+

1

102

）＜14×

4

99

＜

1

2

，
∴A的整數(shù)部分是24．

點評：本題考查的是分式的加減法，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關鍵．