【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像交軸于,交軸于點,連接直線.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點在二次函數(shù)的圖像上,圓與直線相切,切點為.
①若在軸的左側(cè),且△∽△,求點的坐標(biāo);
②若圓的半徑為4,求點的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2 +x-2;(2)①點P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(, );②點P的坐標(biāo)為(, )或(, ).
【解析】試題分析:(1)將A、B兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,從而可求得a、b的值;
(2)①由切線的性質(zhì)可知PH⊥AC,當(dāng)H在點C下方時,由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO從而可證明CP∥x軸,于是得到yP=-2,yP=-2代入拋物線的解析式可求得x1=0(舍去),x2=-1,從而可求得P(-1,-2);如圖1,當(dāng)H′在點C上方時,由相似三角形的性質(zhì)可知:∠P′CH′=∠CAO,故此QA=QC,設(shè)OQ=m,則QC=QA=m+1,在Rt△QOC中,由勾股定理可求得m的值,從而得到點Q的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得直線CP′的解析式為y=-x-2,然后將CP′與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P′的坐標(biāo)為(-, ).
(3)在x軸上取一點D,如圖(2),過點D作DE⊥AC于點E,使DE=4.在Rt△AOC中,由勾股定理可知AC=,由題意可知證明△AED∽△AOC,由相似三角形的性質(zhì)可求得AD=2,故此可得到點D的坐標(biāo)為D(1-2,0)或D(1+2,0),過點D作DP∥AC,交拋物線于P,利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=2x-2,于是得到直線PD的解析式為y=2x+4-2或y=2x-4-2,將直線PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵將x=1,y=0,x=-2,y=0代入y=ax2+bx-2得,解得:
∴拋物線的解析式為y=x2+x-2.
(2)解①∵圓P與直線AC相切,
∴PH⊥span>AC.
(i)如圖1,當(dāng)H在點C下方時,
①∵△CHP∽△AOC,
∴∠PCH=∠CAO.
∴CP∥x軸.
∴yP=-2.
∴x2+x-2=-2.
解得x1=0(舍去),x2=-1,
∴P(-1,-2).
(ii)如圖1,當(dāng)H′在點C上方時.
∵∠P′CH′=∠CAO,
∴QA=QC,
設(shè)OQ=m,則QC=QA=m+1,
在Rt△QOC中,由勾股定理,得m2+22=(m+1)2,解得,m=,即OQ=;
設(shè)直線CP′的解析式為y=kx-2,
把Q(-,0)的坐標(biāo)代入,得k-2=0,解得k=-,∴y=-x-2,
由-x-2=x2+x-2,解得x1=0(舍去),x2=,此時y=-×(-)-2=,
∴P′(-, ).
∴點P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-, )
②在x軸上取一點D,如圖(2),過點D作DE⊥AC于點E,使DE=4.
在Rt△AOC中,AC=,
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC.
∴,即,解得AD=2,
∴D(1-2,0)或D(1+2,0).
過點D作DP∥AC,交拋物線于P,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.
將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到:
解得:
∴直線AC的解析式為y=2x-2.
∴直線PD的解析式為y=2x+4-2或y=2x-4-2,
當(dāng)2x+4-2=x2+x-2時,即x2-x-4=0,解得x1=,x2=;
當(dāng)2x-4-2=x2+x-2時,即x2-x+4=0,方程無實數(shù)根.
∴點P的坐標(biāo)為(, )或(,-).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,連接AD,在AD的延長線上取一點E,連接BE,CE.
(1)求證:△ABE≌△ACE;
(2)當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時,四邊形ABEC是菱形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A出發(fā),沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動,同時,點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動.如果P、Q兩點在分別到達(dá)B、C兩點后就停止移動,回答下列問題:
(1)運動開始后第幾秒時,△PBQ的面積等于8cm2?
(2)當(dāng)運動開始后秒時,試判斷△DPQ的形狀;
(3)在運動過程中,是否存在這樣的時刻,使以Q為圓心,PQ為半徑的圓正好經(jīng)過點D?若存在,求出運動時間;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科幻小說《實驗室的故事》中,有這樣一個情節(jié),科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一天后,測試出這種植物高度的增長情況(如下表):
溫度/℃ | …… | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 4.5 | …… |
植物每天高度增長量/mm | …… | 41 | 49 | 49 | 41 | 25 | 19.75 | …… |
這些數(shù)據(jù)說明:植物每天高度增長量關(guān)于溫度的函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.
(1)你認(rèn)為是哪一種函數(shù),并求出它的函數(shù)關(guān)系式;
(2)溫度為多少時,這種植物每天高度增長量最大?
(3)如果實驗室溫度保持不變,在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm,那么實驗室的溫度應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇?請直接寫出結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖. 為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角,使其由45°改為30°. 已知原傳送帶AB長為4米.
(1)求新傳送帶AC的長度;
(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出2米的通道,試判斷距離B點4米的貨物是否需要挪走,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時,準(zhǔn)備了兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A、B,每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每一個扇形內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.游戲規(guī)則:同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字之和為0時,甲獲勝;數(shù)字之和為1時,乙獲勝.如果指針恰好指在分割線上,那么重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一區(qū)域為止.
(1)用畫樹狀圖或列表法求乙獲勝的概率;
(2)這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎?請判斷并說明理由.
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