【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像交軸于,交軸于點,連接直線.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)點在二次函數(shù)的圖像上,圓與直線相切,切點為.

①若軸的左側(cè),且△∽△,求點的坐標(biāo);

②若圓的半徑為4,求點的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2 +x-2;(2)①點P的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(, );②點P的坐標(biāo)為( )或(, ).

【解析】試題分析:(1)將A、B兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得到關(guān)于a、b的二元一次方程組,從而可求得a、b的值;
(2)由切線的性質(zhì)可知PHAC,當(dāng)H在點C下方時,由CHP∽△AOC可知PCH=CAO從而可證明CPx軸,于是得到yP=-2,yP=-2代入拋物線的解析式可求得x1=0(舍去),x2=-1,從而可求得P(-1,-2);如圖1,當(dāng)H′在點C上方時,由相似三角形的性質(zhì)可知:PCH=CAO,故此QA=QC,設(shè)OQ=m,則QC=QA=m+1,在RtQOC中,由勾股定理可求得m的值,從而得到點Q的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得直線CP′的解析式為y=-x-2,然后將CP′與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P′的坐標(biāo)為(-, ).
(3)在x軸上取一點D,如圖(2),過點DDEAC于點E,使DE=4.在RtAOC中,由勾股定理可知AC=,由題意可知證明AED∽△AOC,由相似三角形的性質(zhì)可求得AD=2,故此可得到點D的坐標(biāo)為D(1-2,0)或D(1+2,0),過點DDPAC,交拋物線于P,利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=2x-2,于是得到直線PD的解析式為y=2x+4-2y=2x-4-2,將直線PD的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點P的坐標(biāo).

試題解析:(1)x=1,y=0,x=-2,y=0代入y=ax2+bx-2,解得:

拋物線的解析式為y=x2+x-2.
(2)解①∵P與直線AC相切,
PHspan>AC.
(i)如圖1,當(dāng)H在點C下方時,

①∵△CHP∽△AOC,
∴∠PCH=CAO.
CPx軸.
yP=-2.
x2+x-2=-2.
解得x1=0(舍去),x2=-1,
P(-1,-2).
(ii)如圖1,當(dāng)H′在點C上方時.
∵∠PCH=CAO,
QA=QC,
設(shè)OQ=m,則QC=QA=m+1,
RtQOC中,由勾股定理,得m2+22=(m+1)2,解得,m=,即OQ=
設(shè)直線CP′的解析式為y=kx-2,
Q(-,0)的坐標(biāo)代入,得k-2=0,解得k=-,y=-x-2,
-x-2=x2+x-2,解得x1=0(舍去),x2=,此時y=-×(-)-2=,
P(- ).
P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-,
x軸上取一點D,如圖(2),過點DDEAC于點E,使DE=4.

RtAOC中,AC=,
∵∠COA=DEA=90°OAC=EAD,
∴△AED∽△AOC.
,即,解得AD=2,
D(1-2,0)或D(1+2,0).
過點DDPAC,交拋物線于P,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.
將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到:

解得:

直線AC的解析式為y=2x-2.
直線PD的解析式為y=2x+4-2y=2x-4-2,
當(dāng)2x+4-2=x2+x-2時,即x2-x-4=0,解得x1=,x2=;
當(dāng)2x-4-2=x2+x-2時,即x2-x+4=0,方程無實數(shù)根.
P的坐標(biāo)為( )或(,-).

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溫度/℃

……

-4

-2

0

2

4

4.5

……

植物每天高度增長量/mm

……

41

49

49

41

25

19.75

……

這些數(shù)據(jù)說明:植物每天高度增長量關(guān)于溫度的函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.

(1)你認(rèn)為是哪一種函數(shù),并求出它的函數(shù)關(guān)系式;

(2)溫度為多少時,這種植物每天高度增長量最大?

(3)如果實驗室溫度保持不變,在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm,那么實驗室的溫度應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇?請直接寫出結(jié)果.

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