Question

在正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、BC上的點，且CE=CF，點G是BC延長線上的一點且∠CEG+∠CDF=90°，連結(jié)EF、AE、AF．
（1）直接填空：∠FEC=

 

°；
（2）求證：EG=FD；
（3）若∠AED：∠G：∠DFE=6：3：2，求∠EAF的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊對等角及直角三角形的兩銳角互余即可求出∠FEC的度數(shù)；
（2）先由∠CEG+∠CDF=90°及∠CEG+∠G=90°，根據(jù)同角的余角相等可證∠CDF=∠G，然后根據(jù)AAS可證△DCF≌△GCE，最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明EG=FD；
（3）由∠AED：∠G：∠DFE=6：3：2，可設(shè)∠AED=6x，∠G=3x，∠DFE=2x，由（2）可知∠CDF=∠G，可得∠CDF=∠G=3x，然后利用外角的性質(zhì)可得：∠CDF+∠DFE=∠FEC，即3x+2x=45°，進而求出x的值，從而確定∠AED的度數(shù)，進而求出∠DAE的度數(shù)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得DE=BF，AB=AD，∠B=∠ADE=90°，由SAS可證△ABF≌△ADE，然后由全等三角形的對應(yīng)角相等可得：∠BAF=∠DAE，從而求出∠BAF的度數(shù)，最后根據(jù)∠EAF=∠BAD-（∠BAF+∠DAE）即可求出∠EAF的度數(shù)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∵CE=CF，
∴∠FEC=∠EFC=

180°-∠BCD

2

=45°，
故答案為：45；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCG=90°，
∴∠CEG+∠G=90°，
∵∠CEG+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠G，
在△CEG與△CFD中，

∠CDF=∠G ∠DCF=∠GCE CE=CF

，
∴△CEG≌△CFD（AAS）．
∴EG=FD；
（3）解：依題意設(shè)∠AED=6x，∠G=3x，∠DFE=2x
則∠CDF=∠G=3x，
∵∠CDF+∠DFE=∠FEC，
∴3x+2x=45°，
∴x=9°，
∴∠AED=54°，
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-54°=36°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，BC=DC=AB=AD，
又∵CE=CF，
∴BF=DE，
在△ABF和△ADE中，

AB=AD ∠B=∠ADE BF=DE

，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴∠BAF=∠DAE=36°，
∴∠EAF=∠BAD-（∠BAF+∠DAE）=90°-72°=18°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：明確判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．