Question

如圖，正方形紙張ABCD面積為100cm²，對折一下使D落在BC的D′上，且2D′C=BD′
（1）求DF的長；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CD=CB=10cm，由2D′C=BD′得到CD′=

10

3

cm，BD′=

20

3

cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得FD′=FD，A′D′=AD=10cm，設(shè)DF=x，則FD′=x，F(xiàn)C=10-x，利用勾股定理可計算出x=

50

9

；
（2）設(shè)A′D′交AB于G點，過E作EH⊥DC于H，由DF=

50

9

cm得FC=

40

9

cm，易證Rt△GD′B∽Rt△D′FC，利用相似比可計算出GB=5，根據(jù)勾股定理計算出GD′=

25

3

，則A′G=

5

3

，再證明Rt△A′GE∽Rt△BGD′，利用相似比得A′E=

20

9

，則AE=DH=

20

9

，所以HF=DF-DH=

30

9

=

10

3

，在Rt△HEF中，根據(jù)勾股定理可計算出EF．

解答：解：（1）∵正方形紙張ABCD面積為100cm²，
∴CD=CB=10cm，
∵2D′C=BD′，
∴CD′=

10

3

cm，BD′=

20

3

cm，
∵正方形紙張ABCD對折使D落在BC的D′上
∴FD′=FD，A′D′=AD=10cm，
設(shè)DF=x，則FD′=x，F(xiàn)C=10-x，
在Rt△FCD′中，F(xiàn)C²+CD′²=FD′²，即（10-x）²=（

10

3

）²+x²，解得x=

50

9

，
∴DF的長為

50

9

cm；

（2）∵DF=

50

9

cm，
∴FC=

40

9

cm，
設(shè)A′D′交AB于G點，如圖，
∵∠FD′A′=∠B=90°，
∴∠GD′B+∠FD′C=90°，
而∠FD′C+∠D′FC=90°，
∴∠GD′B=∠D′FC，
∴Rt△GD′B∽Rt△D′FC，
∴

FC

BD′

=

D′C

GB

，即

40 9

20 3

=

10 3

GB

，解得GB=5，
∴GD′=

BG2+BD′2

=

25

3

，
∴A′G=A′D′-GD′=10-

25

3

=

5

3

，
∵∠A′GE=∠BGD′，
∴Rt△A′GE∽Rt△BGD′，
∴

A′G

BG

=

A′E

BD′

，即

5 3

5

=

A′E

20 3

，解得A′E=

20

9

，
∴AE=DH=

20

9

，
∴HF=DF-DH=

30

9

=

10

3

，
過E作EH⊥DC于H，如圖，
在Rt△HEF中，EH=AD=10，
EF=

EH2+FH2

=

10 10

3

（cm）．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；也考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．