Question

如圖，正方形紙張ABCD面積為100cm²，對(duì)折一下使D落在BC的D′上，且2D′C=BD′
（1）求DF的長(zhǎng)；
（2）求折痕EF的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵正方形紙張ABCD面積為100cm²，
∴CD=CB=10cm，
∵2D′C=BD′，
∴CD′=cm，BD′=cm，
∵正方形紙張ABCD對(duì)折使D落在BC的D′上
∴FD′=FD，A′D′=AD=10cm，
設(shè)DF=x，則FD′=x，F(xiàn)C=10-x，
在Rt△FCD′中，F(xiàn)C²+CD′²=FD′²，即（10-x）²=（）²+x²，解得x=，
∴DF的長(zhǎng)為cm；

（2）∵DF=cm，
∴FC=cm，
設(shè)A′D′交AB于G點(diǎn)，如圖，
∵∠FD′A′=∠B=90°，
∴∠GD′B+∠FD′C=90°，
而∠FD′C+∠D′FC=90°，
∴∠GD′B=∠D′FC，
∴Rt△GD′B∽R(shí)t△D′FC，
∴=，即=，解得GB=5，
∴GD′==，
∴A′G=A′D′-GD′=10-=，
∵∠A′GE=∠BGD′，
∴Rt△A′GE∽R(shí)t△BGD′，
∴=，即=，解得A′E=，
∴AE=DH=，
∴HF=DF-DH==，
過E作EH⊥DC于H，如圖，
在Rt△HEF中，EH=AD=10，
EF==（cm）．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CD=CB=10cm，由2D′C=BD′得到CD′=cm，BD′=cm，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得FD′=FD，A′D′=AD=10cm，設(shè)DF=x，則FD′=x，F(xiàn)C=10-x，利用勾股定理可計(jì)算出x=；
（2）設(shè)A′D′交AB于G點(diǎn)，過E作EH⊥DC于H，由DF=cm得FC=cm，易證Rt△GD′B∽R(shí)t△D′FC，利用相似比可計(jì)算出GB=5，根據(jù)勾股定理計(jì)算出GD′=，則A′G=，再證明Rt△A′GE∽R(shí)t△BGD′，利用相似比得A′E=，則AE=DH=，所以HF=DF-DH==，在Rt△HEF中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；也考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．