Question

【題目】如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADE（含30°），將三角板ABC（含45°）繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角（0°＜α≤45°），試問：

（1）當(dāng)∠α=度時(shí)，能使圖2中的AB∥DE；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)（如圖3），則∠α=度；
（3）當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)；
（4）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，連接BD（如圖4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）15
（2）45
（3）解：當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)為15°，45°，105°，135°，150°．如圖a﹣e所示：

①當(dāng)AD∥BC時(shí)，α=15°；②當(dāng)DE∥AB時(shí)，α=45°；③當(dāng)DE∥BC時(shí)，α=105°；④當(dāng)DE∥AC時(shí)，α=135°；⑤當(dāng)AE∥BC時(shí)，α=150°．

（4）解：如圖4，當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，∠DBC+∠CAE+∠BDE=105°，保持不變；

理由如下：設(shè)BD分別交AC、AE于點(diǎn)M、N，

在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180°，

∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，

∵∠C=30°，∠E=45°，

∴∠DBC+∠CAE+∠BDE=180°﹣75°=105°．

【解析】解：（1）如圖2，當(dāng)AB∥DE時(shí)，∠BAE=∠E=30°，

∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
所以答案是：15；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)，∠α=∠BAC=45°，
所以答案是：45；．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)．