Question

如圖，一次函數y=ax+b與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數y=相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F，連接CF，DE，EF．有下列四個結論：
①△CEF與△DEF的面積相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正確的結論個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：此題要根據反比例函數的性質進行求解，解決此題的關鍵是要證出CD∥EF，可從①問的面積相等入手；△DFE中，以DF為底，OF為高，可得S_△DFE=|x_D|•|y_D|=k，同理可求得△CEF的面積也是 k，因此兩者的面積相等；若兩個三角形都以EF為底，那么它們的高相同，即E、F到AD的距離相等，由此可證得CD∥EF，然后根據這個條件來逐一判斷各選項的正誤．
解答：解：設點D的坐標為（x，），則F（x，0）．
由函數的圖象可知：x＞0，k＞0．
∴S_△DFE=DF•OF=|x_D|•||=k，
同理可得S_△CEF=k，
故S_△DEF=S_△CEF．
若兩個三角形以EF為底，則EF邊上的高相等，故CD∥EF．
①由上面的解題過程可知：①正確；
②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正確；
③條件不足，無法得到判定兩三角形全等的條件，故③錯誤；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形DBEF是平行四邊形，
∴S_△DEF=S_△BED，
同理可得S_△ACF=S_△ECF；
由①得：S_△DBE=S_△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC邊上的高相等，
∴BD=AC，④正確；
法2：∵四邊形ACEF，四邊形BDEF都是平行四邊形，
而且EF是公共邊，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正確；
因此正確的結論有3個：①②④．
故選C．
點評：此題通過反比例函數的性質來證圖形的面積相等，根據面積相等來證線段的平行或相等，設計巧妙，難度較大．