Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，△ABC的角平分線BD、CE交于點(diǎn)F．若CF=

7

2

，四邊形BCDE的面積為14，則BC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：在BC上取點(diǎn)M使得BM=BE，取點(diǎn)N使得CN=CD，作BG⊥CE延長線于點(diǎn)G，易證△BFE≌△BFM和△CFN≌△CFD，即可求得S_△BFC=

1

2

S_{四邊形BCDE}，即可求得BG、FG的長，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，即可解題．

解答：解：在BC上取點(diǎn)M使得BM=BE，取點(diǎn)N使得CN=CD，作BG⊥CE延長線于點(diǎn)G，

在△BFE和△BFM中，

BF=BF ∠FBE=∠FBM BM=BE

，
∴△BFE≌△BFM（SAS），
∴EF=EM，S_△BFE=S_△BFM，∠BFE=∠BFM，
同理：△CFN≌△CFD，
∴DF=FN，S_△CFN=S_△CFD，∠CFD=∠CFN，
∵∠FBC+∠FCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=45°，
∴∠CFD=∠BFE=45°，∠BFC=∠EFD=135°，
∴∠EFM=∠BFE+∠BFM=90°，∠DFN=∠DFC+∠NFC=90°，
∴∠MFN+∠EFD=180°，
∴S_△EFD=

1

2

EF•DFsin∠EFD=

1

2

FM•FNsin∠MFN=S_△MFN，
∴S_△BFC=S_△BEF+S_△CDF+S_△DEF，
∴S_△BFC=

1

2

S_{四邊形BCDE}，
∴

1

2

CF•BG=7，求得BG=4，
∵∠BFE=45°，
∴BG=FG=4，
∴BC=

GB2+CG2

=

17

2

．
故答案為：

17

2

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BFE≌△BFM和△CFN≌△CFD是解題的關(guān)鍵．