Question

如圖1，在一個直角三角形內(nèi)做一個矩形ABCD，其中AB和AD分別兩直角邊上．
（1）如果說矩形的一邊AB=xm，那么AD邊的長度如何表示；
（2）設(shè)矩形的面積為ym²，當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值是多少？
議一議
在上面的問題中如果把矩形改為如圖2所示的位置，其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？你是怎么知道的？

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，由矩形的性質(zhì)可以得出CD∥AB，就可以得出△EDC∽△EAF，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出ED，就可以求出結(jié)論；
（2）由矩形的面積公式就可以表示出y與x之間的關(guān)系式，由函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
議一議：如圖2，由矩形的性質(zhì)可以得出CD∥AB，就可以得出△ODA∽△OEF，作OH⊥EF于H，交AD于G，由勾股定理可以求出EF的值，進(jìn)而求出OH的值，由AB=x，則可以表示出OG，由相似三角形的性質(zhì)就可以表示出AD，由矩形的性質(zhì)就可以得出y與x的關(guān)系，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD∥AB，CD=AB，BC=AD，
∴△EDC∽△EAF，
∴

CD

AF

=

ED

AE

．
∵AB=x，
∴DC=30-x．
∴

CD

40

=

30-x

30

∴

x

40

=

DE

30

，
∴DE=

3

4

x，
∴AD=30-

3

4

x；
（2）由題意，得
y=x（30-

3

4

x），
y=-

3

4

（x-20）²+300
∴a=-

3

4

＜0，
∴x=20時，y_最大=300．
答：當(dāng)x=20時，面積的最大值為300平方米；
議一議，如圖2，∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，CD=AB，BC=AD，
∴△ODA∽△OEF，
∴

AD

EF

=

OG

OH

．
作OH⊥EF于H，交AD于G，
∴GH=AB=x，
∴OG=OH-x．
在Rt△EOF中，由勾股定理，得
EF=50，
∴

50OH

2

=

30×40

2

，
∴OH=24，
∴OG=24-x．
∴

AD

50

=

24-x

24

，
∴AD=50-

25

12

x．
∴y=x（50-

25

12

x），
∴y=-

25

12

（x-12）²+300．
∴a=-

25

12

＜0，
∴x=12時，y_最大=300．
答：當(dāng)x=12時，面積的最大值為300平方米；

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．