如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的一個交點為A（-2，0），與y軸的交點為C，對稱軸是x=3，對稱軸與x軸交于點B．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）經(jīng)過B，C的直線l平移后與拋物線交于點M，與x軸交于點N，當以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點M的坐標；
（3）若點D在x軸上，在拋物線上是否存在點P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數(shù)綜合題
專題：代數(shù)幾何綜合題
分析：（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我們只需要根據(jù)特點描述求出a，b即可．由對稱軸為-
b
2a
，又過點A（-2，0），所以函數(shù)表達式易得．
（2）四邊形BCMN為平行四邊形，則必定對邊平行且相等．因為已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置關系，則可分2種情形，①N點在M點右下方，即M向下平移4個單位，向右平移3個單位與N重合． ②M點在N右下方，即N向下平移4個單位，向右平移3個單位與M重合．因為M在拋物線，可設坐標為（x，-
1
4
x2+
3
2
x+4），易得N坐標．由N在x軸上，所以其縱坐標為0，則可得關于x的方程，進而求出x，求出M的坐標．
（3）使△PBD≌△PBC，易考慮∠CBD的平分線與拋物線的交點．確定平分線可因為BC=BD，可作等腰△BCD，利用三線合一，求其中線所在方程，進而與拋物線聯(lián)立得方程組，解出P即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A（-2，0），
∴0=4a-2b+4，
∵對稱軸是x=3，
∴-
b
2a
=3，即6a+b=0，
兩關于a、b的方程聯(lián)立解得 a=-
1
4
，b=
3
2
，
∴拋物線為y=-
1
4
x2+
3
2
x+4．

（2）∵四邊形為平行四邊形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N點在M點右下方，即M向下平移4個單位，向右平移3個單位與N重合．
設M（x，-
1
4
x2+
3
2
x+4），則N（x+3，-
1
4
x2+
3
2
x），
∵N在x軸上，
∴-
1
4
x2+
3
2
x=0，
解得 x=0（M與C重合，舍去），或x=6，
∴xM=6，
∴M（6，4）．
②M點在N右下方，即N向下平移4個單位，向右平移3個單位與M重合．
設M（x，-
1
4
x2+
3
2
x+4），則N（x-3，-
1
4
x2+
3
2
x+8），
∵N在x軸上，
∴-
1
4
x2+
3
2
x+8=0，
解得 x=3-
41
，或x=3+
41
，
∴xM=3-
41
，或3+
41
．
∴M（3-
41
，-4）或（3+
41
，-4）
綜上所述，M的坐標為（6，4）或（3-
41
，-4）或（3+
41
，-4）．

（3）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x軸上，
∴D為（-2，0）或（8，0）．
①當D為（-2，0）時，連接CD，過B作直線BE平分∠DBC交CD于E，交拋物線于P1，P2，
此時△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，
∵BC=BD，
∴E為CD的中點，即E（-1，2），
設過E（-1，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則
2=-k+b
0=3k+b
，
解得
k=-
1
2
b=
3
2
，
∴BE：y=-
1
2
x+
3
2
．
設P（x，y），則有
y=-
1
2
x+
3
2
y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
，
解得
x=4+
26
y=-
1+
26
2
，或
x=4-
26
y=
26
-1
2
，
則P1（4+
26
，-
1+
26
2
），P2（4-
26
，
26
-1
2
）．
②當D為（8，0）時，連接CD，過B作直線BF平分∠DBC交CD于F，交拋物線于P3，P4，
此時△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，
∵BC=BD，
∴F為CD的中點，即F（4，2），
設過F（4，2），B（3，0）的直線為y=kx+b，則
2=4k+b
0=3k+b
，
解得
k=2
b=-6
，
∴BF：y=2x-6．
設P（x，y），則有
y=2x-6
y=-
1
4
x2+
3
2
x+4
，
解得
x=-1+
41
y=-8+2
41
或
x=-1-
41
y=-8-2
41
，
則P3（-1+
41
，-8+2
41
），P4（-1-
41
，-8-2
41
）．
綜上所述，點P的坐標為（4+
26
，-
1+
26
2
）或（4-
26
，
26
-1
2
）或（-1+
41
，-8+2
41
）或（-1-
41
，-8-2
41
）．
點評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)的意義，平移及二元一次方程求解等知識，本題難度適中，但想做全答案并不容易，是道非常值得學生練習的題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法正確的是（　�。�
A、“2014年長沙市初中畢業(yè)會考，這期間的每一天都是晴天”是必然事件
B、垂直于弦的直徑平分這條弦
C、某同學連續(xù)10次拋擲質量均勻的硬幣，3次正面向上，因此正面向上的概率是30%
D、對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

甲乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中．
（1）求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率；
（2）從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)時，則甲勝；若兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)時，則乙勝；試分析這個游戲是否公平？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

解方程組或不等式組：
（1）
2x-y=9
x+y=6
；
（2）
3x+2y=-3
2x-5y+2=0
；
（3）
y+5＞0
3y+2＜-2y-8
；
（4）
3x＞6
x-5＞2x+1
．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
（1）解方程：
2x
x-2
=1-
1
2-x
；
（2）計算：
8
+（
2
-1）+（
1
2
）0．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1．
（1）[0.5]=
 
；[-2.5]=
 
，
（2）若[
x+4
10
]=5，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD的頂點坐標分別為A（1，1），B（2，1），C（2，3），D（1，3）．
（1）將矩形各頂點的橫、縱坐標都乘以2，寫出各對應點A1B1C1D1的坐標；順次連接A1B1C1D1，畫出相應的圖形．
（2）求矩形A1B1C1D1與矩形ABCD的面積的比
 
．
（3）將矩形ABCD的各頂點的橫、縱坐標都擴大n倍（n為正整數(shù)），得到矩形AnBnCnDn，則矩形AnBnCnDn與矩形ABCD的面積的比為
 
．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

某中學為促進課堂教學，提高教學質量，對本校七年級學生進行了一次“你最喜歡的課堂教學方式”的問卷調查，根據(jù)收回的問卷，學校繪制了統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表中提供的信息，解答下列問題：

（1）補全統(tǒng)計表；
（2）指出扇形統(tǒng)計圖中，代號為1的扇形的圓心角的度數(shù)，將條形統(tǒng)計圖中的代號為4的部分補充完整；
（3）你最喜歡以上哪種教學方式或另外的教學方式，請?zhí)岢瞿愕慕ㄗh，并簡要說明理由．
代號 教學方式 最喜歡人數(shù) 占百分比
1 老師講，學生聽 20 10%
2 老師提出問題，學生探索思考 100
 
3 學生自行閱讀教程，獨立思考 30 15%
4 分組討論，解決問題
 
 25%

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

計算：-9+3=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案