Question

圖①是一張長與寬不相等的矩形紙片，同學們都知道按圖②所示的折疊方法可以裁剪出一個正方形紙片和一個矩形紙片（如圖③），

（1）實驗：
將這兩張紙片分別按圖④、⑤所示的折疊方法進行：

請你分別在圖④、⑤的最右邊的圖形中用虛線畫出折痕，并順次連接每條折痕的端點，所圍成的四邊形分別是什么四邊形？
（2）當原矩形紙片的AB=4，BC=6時，分別求出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的面積，并求出它們的面積比；
（3）當紙片ABCD的長和寬滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時先后得到的兩個四邊形的面積比等于（2）所得到的兩個四邊形的面積比？
（4）用（2）中所得到的兩張紙片，分別裁剪出那兩個四邊形，用剩下的8張紙片拼出兩個周長不相等的等腰梯形，用圖表示并標明主要數(shù)據(jù)，分別求出兩梯形的面積．

Answer 1

分析：（1）由題意知：圖④正方形和圖⑤矩形的折痕分別是對邊中點所在的直線，順次連接圖④正方形的四邊中點，所得四邊形的對角線相等且互相垂直平分，因此其形狀是正方形；順次連接圖⑤矩形的四邊中點，所得四邊形的對角線互相垂直平分，因此其形狀是菱形；
（2）已知了原矩形的長和寬，即可求得圖④正方形的邊長和圖⑤矩形的長和寬，進而可求出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的對角線的長，它們的面積都是對角線乘積的一半，由此可求得兩個四邊形的面積，進而得到它們的比例關(guān)系；
（3）可設出原矩形的長和寬，按照（2）的方法分別表示出（1）中連接折痕各端點所得四邊形的面積，然后根據(jù)它們的比例關(guān)系即可求出a、b需要滿足的條件；
（4）裁剪掉那兩個四邊形后剩下八個直角三角形，可分成兩類：
①兩條直角邊為2的等腰直角三角形，②直角邊為1和2的直角三角形；
然后動手操作即可拼成兩個周長不等的等腰梯形，進而可求出其周長．

解答：解：（1）圖④所示的是正方形，圖⑤所示的菱形．（2分）

（2）S_菱形=

1

2

S_正方形=

1

2

×4×4=8，S_菱形MNPQ=

1

2

S_矩形=

1

2

×2×4=4
S_正方形：S_菱形=2；（4分）

（3）設AB=a，BC=b，
則S_正方形=

1

2

a2，S_菱形=

1

2

a（b-a）=

1

2

ab-

1

2

a²，
要使S_正方形=2S_菱形，
需

1

2

a2=2(

1

2

ab-

1

2

a2)
∴3a²=2ab；
由∵a不等于0，
∴3a=2b；（7分）

（4）如圖所示，兩等腰梯形面積分別為6或6．
（10分）

點評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時考查了直角三角形、特殊四邊形等幾何基本知識，解題時應分別對每一個圖形進行仔細分析，難度適中．