Question

如圖，P是⊙O上的一個點，⊙P與⊙O的一個交點是E，⊙O的弦AB（或延長線）與⊙P相切，C是切點，AE（或延長線）交⊙P于點F，連接PA、PB，設⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r（R＞r），
（1）如圖1，求證：PA•PB=2rR；
（2）如圖2，當切點C在⊙O的外部時，（1）中的結論是否成立，試證明之；
（3）探究（圖2）已知PA=10，PB=4，R=2r，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）連接PO并延長交圓O于H，連接AH、PC，證△PBC和△PHA相似，推出比例式即可．
（2）證△PBC和△PAH相似即可推出答案．
（3）過P作AE的垂線，垂足是Q，連接PE，根據(jù)（1）的結論求出r，R，證△PCB∽△PQE，求出PQ，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求出即可．

解答：（1）證明：連接PO并延長交圓O于H，連接AH、PC，
∵AB是⊙P的切線
∴∠PCB=90°，
∵PH是直徑，
∴∠PAH=90°，
∵∠PCB=∠PAH，
∵∠PBC=∠PHA，
∴△PBC∽△PHA，
∴

PB

PC

=

PH

PA

，
∴PA•PB=2Rr．

（2）結論還成立，
證明：如圖：由（1）得：△PBC∽△PHA，
∴

PB

PC

=

PH

PA

，
∴PA•PB=2Rr．

（3）解：如圖2，過P作AE的垂線，垂足是Q，連接PE，
∵PA=10，PB=4，R=2r，
而PA•PB=2Rr，
∴r=

10

，R=2

10

，
在△PCB和△PQE中，
∠CBP=∠QEP，∠PCB=∠PQE=90°，
∴△PCB∽△PQE，
∴

PC

PQ

=

PB

PE

，
∴PQ=

5

2

，
∴QE=

15

2

，
由垂徑定理得：EF=2QE=

15

．

點評：本題考查了對相似三角形的性質和判定，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，切線的性質等知識點的連接和運用，解此題的關鍵是能綜合運用這些性質證三角形相似，進而求出線段的長．