Question

如圖1，△ABC表示一塊含有30°角的直角三角板，30°所對(duì)的邊AC的長(zhǎng)為2，以斜邊AB所在直線為x軸，AB邊上的高所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，等腰直角△DEF的斜邊DE始終在x軸上移動(dòng)，且DE=．問(wèn)當(dāng)其直角頂點(diǎn)F的初始位置落在y軸的負(fù)半軸時(shí)，△DEF經(jīng)過(guò)怎樣的平移后點(diǎn)F才落在（1）中的拋物線上？

Answer 1

（1）解：在Rt△ABC中，
∵∠CBA=30°，AC=2，
∴∠CAB=60°，AB=4，
由勾股定理得：BC=2，
∴在Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴AO=1，CO=，
∴BO=AB-AO=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，），
答：A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），（0，）．

（2）解：根據(jù)題意設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=a（x-3）（x+1），
∵過(guò)點(diǎn)C（0，），
∴-3×a=，解得a=．
∴所求拋物線的關(guān)系式為y=（x-3）（x+1），即y=x²+x+，
答：過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式是y=x²+x+．

（3）解：在等腰Rt△DEF中，
∵DE=2，
即：OF=，
∴F（0，-）
當(dāng)y=-，
∴（x-3）（x+1）=-．解得x₁=，x₂=．
∴△DEF向右平移（）個(gè)單位或者向左平移（）個(gè)單位，點(diǎn)F才落在（1）中的拋物線上，
答：當(dāng)其直角頂點(diǎn)F的初始位置落在y軸的負(fù)半軸時(shí)，△DEF經(jīng)過(guò)向右平移（）個(gè)單位或者向左平移（）個(gè)單位后，點(diǎn)F才落在（1）中的拋物線上．
分析：（1）根據(jù)含30°的直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出AC和AB的長(zhǎng)，在Rt△AOC，同理可求出AO、CO的長(zhǎng)，即可得到答案；
（2）根據(jù)題意設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=a（x-3）（x+1），把C的坐標(biāo)代入就能求出a的值，即可求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)等腰Rt△DEF的性質(zhì)，能求出F的坐標(biāo)，因?yàn)槠揭�，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)與F的縱坐標(biāo)相等，把y=-代入拋物線的解析式即可求出x的值，就能得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，題型較好．