Question

已知等邊△ABC中，P為直線BC上一點(diǎn)，連接PA，以PA為一邊作∠APE=60°，另一邊交∠ACB外角平分線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BC的延長線于H，求證：PC+2CH=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：如圖，由條件可證到∠1=∠2，∠APE=∠4，從而可得A、P、C、E四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得∠2=∠3，進(jìn)而可證到△ABP≌△ACE，則有BP=CE，在Rt△CHE中運(yùn)用三角函數(shù)就可得到CE=2CH，即可得到結(jié)論．

解答：解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠B=60°．
∴∠ACH=120°，
∵∠APC=∠1+∠B=∠2+∠APE，∠B=∠APE=60°，
∴∠1=∠2．
∵CE平分∠ACH，∴∠4=∠5=60°．
∵∠APE=∠4=60°，
∴A、P、C、E四點(diǎn)共圓．
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
在△ABP和△ACE中，

∠1=∠3 AB=AC ∠B=∠4=60°

．
∴△ABP≌△ACE．
∴BP=CE．
在Rt△CHE中，
∵cos∠5=

CH

CE

=cos60°=

1

2

，
∴CE=2CH．
∴AB=BC=PC+BP=PC+CE=PC+2CH．

點(diǎn)評：本題主要考查了四點(diǎn)共圓、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的外角性質(zhì)等知識，通過證明△ABP≌△ACE得到BP=CE是解決本題的關(guān)鍵．