Question

已知長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=m，已知點(diǎn)D在第一象限且是直線y=2x+6上的一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）直線y=2x+6向右平移6個(gè)單位后，在該直線上，是否存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠DEA=∠AFP=90°，

∵△DAP為等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，由14=2x+6，得x=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，14）；

（2）存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：
直線y=2x+6向右平移6個(gè)單位后的解析式為y=2（x-6）+6=2x-6，
如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD，易得D點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；
如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，AP=PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）-6，得m=，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（，）；
如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)（，），
綜上，符合條件的點(diǎn)D存在，坐標(biāo)分別為（4，2），（，），（，）．

分析：（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠DEA=∠AFP=90°，再由三角形ADP為等腰直角三角形，得到AD=AP，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS得到三角形ADE與三角形APF全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的長，即為D的縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出D的橫坐標(biāo)，即可確定出D的坐標(biāo)；
（2）存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：利用平移規(guī)律求出y=2x+6向右平移后的解析式，分三種情況考慮：如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD，根據(jù)D為矩形ABCO的中心，易得D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，AP=PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），表示出D點(diǎn)坐標(biāo)為（14-m，m+8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出D點(diǎn)坐標(biāo)；如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，AD=PD時(shí)，同理求出D的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意D得坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移規(guī)律，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，本題第二問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．