Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

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x+b(b＞0)分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點(diǎn)．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，試求經(jīng)過(guò)M、N、P′三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（3）當(dāng)b值由小到大變化時(shí)，求S與b的函數(shù)關(guān)系式．
（4）若在直線y=-

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x+b(b＞0)上存在點(diǎn)Q，使∠OQM等于90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出作PK⊥MN于K，利用等腰三角形的性質(zhì)得出KO的長(zhǎng)，即可出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出P′點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；
（3）分別利用當(dāng)0＜b≤2時(shí)，當(dāng)2＜b≤3時(shí)以及當(dāng)3＜b＜4時(shí)和當(dāng)b≥4時(shí)結(jié)合圖象求出即可；
（4）以O(shè)M為直徑作圓，當(dāng)直線y=-

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x+b(b＞0)與此圓相切時(shí)，b=

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+1得出即可．

解答：解：（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=

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NM=2．
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）∵點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，
∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為：（6，-2），
∵M(jìn)（4，0），N（8，0），
∴代入二次函數(shù)解析式得出：y=a（x-4）（x-8），
∴-2=a（6-4）（6-8），
∴a=

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，
∴經(jīng)過(guò)M、N、P′三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=

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（x-4）（x-8）；


（3）當(dāng)0＜b≤2時(shí)，如圖，S=0．

當(dāng)2＜b≤3時(shí)，如圖，

設(shè)AC交PM于H．AM=HA=2b-4．
∴S=

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(2b-4)2．
即S=2（b-2）²或S=2b²-8b+8．
當(dāng)3＜b＜4時(shí)，如圖，

設(shè)AC交PN于H．NA=HA=8-2b．
∴S=-2（4-b）²+4或S=-2b²+16b-28．
當(dāng)b≥4時(shí)，如圖，

S=4．

（4）0＜b≤

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+1．（提示：以O(shè)M為直徑作圓，當(dāng)直線y=-

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x+b(b＞0)與此圓相切時(shí)，b=

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+1．）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用交點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法等知識(shí)，結(jié)合圖形利用自變量的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意不要漏解．