Question

【題目】如圖，P是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)不與B、D重合，，，垂足分別為E、F．

求證：四邊形AFPE為矩形；

求證：；

當(dāng)EF取最小值時(shí)，判斷四邊形APEF是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

(1)由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可判斷四邊形AFPE為矩形；

(2)由矩形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得AP=CP=EF；

(3)當(dāng)AP⊥BD時(shí)，EF取最小值，由正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAD=90°，由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得PE=PF，可得四邊形AFPE是正方形．

四邊形ABCD是正方形，

，且，，

四邊形AFPE為矩形；

如圖，連接AC，AP，

四邊形ABCD是正方形，

垂直平分AC，

，

四邊形AFPE為矩形，

，

；

四邊形AFPE是正方形，理由如下：

如圖，當(dāng)時(shí)，EF取最小值，

四邊形ABCD是正方形，

，，

又，

，且，，

，且四邊形AFPE是矩形，

四邊形AFPE是正方形.