Question

已知在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、DB交于點(diǎn)O，E是CD邊上一點(diǎn)，AE與對(duì)角線(xiàn)DB交于點(diǎn)M，連接CM．
（1）如圖，點(diǎn)F是線(xiàn)段CB上一點(diǎn)，AF與DB交于點(diǎn)N，連接CN．若∠CME=30°，∠CNF=50°．求：∠EAF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)F′是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AF′與DB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)N′，連接CN′．如果∠CME=α，∠CN′F′=β，請(qǐng)用含有α、β的代數(shù)式表示∠EAF′的度數(shù)：

90°+

α-β

2

．（第（2）問(wèn)只需填寫(xiě)結(jié)論，不要求證明過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，AN=CN，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠MAC與∠NAC的度數(shù)，相加即可得解；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，AN′=CN′，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠MAC=∠MCA，∠N′AC=∠N′CA，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠MAC，利用三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠N′AC，兩者相加即可得解．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，
∴AM=CM，AN=CN，
∴∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA，
∵∠CME=30°，∠CNF=50°，
∴∠MAC=

1

2

∠CME=15°，
∠NAC=

1

2

∠CNF=25°，
∴∠EAF=∠MAC+∠NAC=15°+25°=40°；

（2）如圖，∠EAF′=90°+

α-β

2

．
理由如下：在正方形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，
∴AM=CM，AN′=CN′，
∴∠MAC=∠MCA，∠N′AC=∠N′CA，
∵∠CME=α，∠CN′F′=β，
∴∠MAC=

1

2

∠CME=

1

2

α，
∠N′AC=

1

2

（180°-β）=90°-

1

2

β，
∴∠EAF′=∠MAC+∠N′AC=

1

2

α+90°-

1

2

β=90°+

α-β

2

．
故答案為：90°+

α-β

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，熟練掌握各性質(zhì)并理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．