Question

設(shè)m是整數(shù)，關(guān)于x的方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，則方程的根為（ ）
A．
B．x=-1
C．
D．有無數(shù)個根

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)m=0，原方程變?yōu)椋簒+1=0，解得x=-1，為有理根；
（2）當(dāng)m≠0，原方程為一元二次方程，則△=b²-4ac為完全平方數(shù)，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8為完全平方數(shù)，設(shè)（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，而m是整數(shù)，完全平方數(shù)的末位數(shù)只能為1，4，5，6，9，經(jīng)過分析得到m-3=3，即m=6，方程為：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，解得x₁=，x₂=．
解答：解：（1）當(dāng)m=0，原方程變?yōu)椋簒+1=0，
解得x=-1，為有理根；
（2）當(dāng)m≠0，原方程為一元二次方程，
∵方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b²-4ac為完全平方數(shù)，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8為完全平方數(shù)，
而m是整數(shù)，
∴設(shè)（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，
∴完全平方數(shù)的末位數(shù)只能為1，4，5，6，9．
∴n²的末位數(shù)只能為1，6，而大于10的兩個完全平方數(shù)相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程為：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x₁=，x₂=，
故選C．
點評：本題考查了一元二次方程有有理根的條件：△=b²-4ac為完全平方數(shù)．也考查了分類討論的思想的運用和一元二次方程的解法．