Question

【題目】如圖①，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．
（1）如圖②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE丄CD，垂足為E．試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C． ①如圖③，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P（寫出作法并保留作圖痕跡）；
②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，

∴CD= AB，

∴CD=BD，

∴∠BCE=∠ABC，

∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠ACB，

∴△BCE∽△ABC，

∴E是△ABC的自相似點(diǎn)

（2）解：①如圖所示，

作法：①在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A，

②在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點(diǎn)P，

則P為△ABC的自相似點(diǎn)；

②∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，

∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，

∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，

∴∠A+2∠A+4∠A=180°，

∴∠A= ，

∴該三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)為： ， ， ．

【解析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)作一角等于已知角即可得出△ABC的自相似點(diǎn)；②根據(jù)∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心才能正確解答此題．