Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上四點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí)，四邊形PBOA是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證明三角形的內(nèi)角都是60°來得出結(jié)論，思路是通過等弧所對(duì)的圓周角相等來得出三角形內(nèi)的其中兩個(gè)內(nèi)角為60°來證得．
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形，通過證明△OAP和△OBP均為等邊三角形，知OA=AP=OB=PB，∴四邊形PBOA是菱形．
解答：解：（1）△ABC是等邊三角形．（1分）
證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等邊三角形．（3分）

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于中點(diǎn)時(shí)，四邊形PBOA是菱形．（4分）
連接OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°．（5分）
P是的中點(diǎn)，∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均為等邊三角形．（6分）
∴OA=AP=OB=PB，
∴四邊形PBOA是菱形．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，垂徑定理等綜合知識(shí)的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理得出等邊三角形是本題解題的關(guān)鍵．