Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF．

1.當(dāng)∠AOB=22.5°時(shí)，求弧AB的長度；

2.當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長；

3.在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.連結(jié)BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,∵∠AOB=22.5°,∴∠ACB=2∠AOB=45°,

∴弧AB的長=; 

2.連結(jié)OD,

得OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,

由△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；或12

3.設(shè)OE=x，

①當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，∴E₁（，0）；∴E₂（，0）;

②當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，

△CEF∽△AED, ∴,而AD=2BE,    ∴,

即,  解得, ＜0（舍去），∴E₃（，0）;

③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，

△  CEF∽△AED,  ∴，而AD=2BE,   

 

∴,∴,    解得,

＜0（舍去）,  ∴E₄（，0）,

綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似,

此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．

 解析:略