Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，分別是，軸上的點，且，，為線段的中點，，為軸正半軸上的任意一點，連結，以為邊按順時針方向作正方形．

（1）填空：點的坐標為______；

（2）記正方形的面積為，①求關于的函數關系式；②當時，求的值．

（3）是否存在滿足條件的的值，使正方形的頂點或落在的邊上？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）①．②．（3），21，3，．

【解析】

（1）根據點C的坐標和正弦的定義即可求出AC，利用勾股定理即可求出OA，從而求出結論；

（2）①過點作軸于點，易證DH為的中位線，根據三角形中位線的性質可得，，，然后根據正方形的面積公式和勾股定理即可求出結論；

②易知此時點即為正方形的中心，從而得出,從而求出a的值，結合①的結論即可求出S；

（3）根據點F和點G落在的各邊分類討論，分別畫出對應的圖形，根據全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質即可分別求出結論．

解：（1）∵，

∴OC=8，

解得：AC=10

根據勾股定理可得OA=

∵點A在x軸負半軸上

∴

故答案為：．

（2）①如圖，過點作軸于點，

∵為線段的中點，DH⊥y軸，AO⊥y軸

∴DH∥AO

∴DH為的中位線

∴，

∴，

∴．

②當時，點即為正方形的中心，

∴，

∴，

∴．

（3）①當點落在邊上時，如圖，過點D作DM⊥y軸于M，過點F作FN⊥y軸于N

∴∠EMD=∠FNE=90°

∵四邊形DGFE為正方形

∴ED=FE，∠DEF=90°

∴∠DEM＋∠FEN=90°，∠EFN＋∠FEN=90°

∴∠DEM=∠EFN

∴≌

∴，

∵，，

∴，

∵FN平行OB

∴∽，

∴，

∴，

∴．

②當點落在邊上時，如圖，過點D作DM⊥y軸于M，過點G作GQ⊥x軸于Q，QG的延長線于DM的延長線交于點N

∴∠EMD=∠DNG=90°

∵四邊形DGFE為正方形

∴ED=DG，∠EDG=90°

∴∠DEM＋∠EDN=90°，∠GDN＋∠EDN =90°

∴∠DEM=∠GDN

∴≌

∴，，

∴，

∴tanB=

∴

∴，

∴，

又∵，

∴．

③當點落在邊上時，如圖，過點D作DM⊥y軸于點M

∴∠EMD=∠FOE=90°

∵四邊形DGFE為正方形

∴ED=FE，∠DEF=90°

∴∠DEM＋∠FEO=90°，∠EFO＋∠FEO=90°

∴∠DEM=∠EFO

∴≌

∴，即．

④當點落在邊上時，如圖，

∵∠CDE=∠COA=90°，∠DCE=∠OCA

∴∽

∴，

∴，

得．

綜上，所有滿足條件的的值有四個：，21，3，．