Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．坐標(biāo)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．則點(diǎn)P的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：利用勾股定理求得△BCD的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷，再分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3
∴OB=OC，∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD為直角三角形．
①利用△BCD的三邊，

DC

BC

=

2

3 2

=

1

3

，又

OA

OC

=

1

3

，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△DBC；
②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3-a，

AC

CD

=

PC

BD

，即

10

2

=

3-a

2 5

，
解得：a=-9，則P的坐標(biāo)是（0，-9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；
③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3-b，則

AC

BC

=

PC

BD

，即

10

3 2

=

3-b

2 5

，
解得：b=-

1

3

，故P是（0，-

1

3

）時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；
④當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）．
則AP=1-d，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

AC

CD

=

AP

BC

，即

10

2

=

1-d

3 2

，
解得：d=1-3

10

，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；
⑤當(dāng)P在x軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）．
則AP=1-e，當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

AC

CD

=

AP

BD

，即

10

3 2

=

1-e

2 5

，
解得：e=-9，符合條件．
總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，0）或（0，-

1

3

）或（-9，0）．
故答案為：（0，0）或（0，-

1

3

）或（-9，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．