Question

（2012•南崗區(qū)一模）已知，⊙0的直徑AB=

10

，點(diǎn)C是⊙0上一點(diǎn)，且BC=1，點(diǎn)D是

AB

的中點(diǎn)，則CD=

2

或2

2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意作出圖形，然后連接OD，AC，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，易得四邊形CEOF是矩形，然后利用三角函數(shù)求得DE與CE的長，再利用勾股定理求解，即可求得CD的長；然后分析當(dāng)D在D′位置時(shí)，利用勾股定理即可求得CD′的長．

解答：解：如圖，連接OD，AC，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)D是

AB

的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，
∴四邊形CEOF是矩形，
∴OE=CF，CE=OF，
∵⊙0的直徑AB=

10

，
∴∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=3
∴在Rt△ABC中，cos∠B=

BC

AB

=

10

10

，sin∠B=

3 10

10

，
在Rt△BCF中，BF=BC•cos∠B=

10

10

，CF=BC•sin∠B=

3 10

10

，
∴OF=

10

2

-

10

10

=

2 10

5

，
∴CE=OF=

2 10

5

，DE=OD-OE=OD-CF=

10

5

，
在Rt△CDE中，CD=

DE2+CE2

=

2

；
當(dāng)D在D′位置時(shí)，
∵都是中點(diǎn)，
∴DD′是直徑，
∴∠DCD′=90°，
∴CD′=

DD′2-CD2

=2

2

．
∴CD=

2

或2

2

．
故答案為：

2

或2

2

．

點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及矩形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．