Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB交x軸于點A（a，0），交y軸于點B（0，b），且a、b滿足

a-4

+(b-2)2=0，直線y=x交AB于點M．
（1）求直線AB的解析式；
（2）過點M作MC⊥AB交y軸于點C，求點C的坐標；
（3）在直線y=x上是否存在一點D，使得S_△ABD=6？若存在，求出D點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質可求得a，b的值，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）先求得點M的坐標，過M點作MN⊥OA于點N，MP⊥OB于點P，由題設可證△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP，利用全等的性質可分別求得CP的長，從而求得點C的坐標；
（3）先假設存在點D，設D（a，a），根據(jù)S_△ABD=6，列出關于a方程，若有解則存在，無解則不存在，要注意分兩種情況考慮．

解答：解：（1）∵

a-4

+(b-2)2=0
∴a-4=0，b-2=0
即a=4，b=2
∴A（4，0），B（0，2）
設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A、B代入解析式得

4k+b=0 b=2

解得k=-

1

2

，b=2
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2；

（2）由

y=- 1 2 x+2 y=x

，得
M（

4

3

，

4

3

)
如圖1，過M點作MN⊥OA于點N，MP⊥OB于點P
由點M的坐標可知MN=MP，∠PMC=∠NMA，∠MPC=∠MNA=90°
∴△MNA≌△MPC，△OMN≌△OMP
則CP=AN，OP=ON=

4

3

而CP=AN=OA-ON=

8

3

故OC=

4

3

所以C（0，-

4

3

）；

（3）存在點D．
∵D在y=x上
∴設D（a，a）
①如圖2，若D在AB的下方
∵S_△AOB=4，S_△ABD=6
∴D在MO的延長線上
∴S_△AOD+S_△BOD+S_△AOB=S_△ABD
∴

1

2

（AO+BO）|a|+4=6，
∴-

1

2

×6a=2，
解得：a=-

2

3

，
∴D（-

2

3

，-

2

3

）
②若D在AB的上方同理求得D′（

10

3

，

10

3

），即D（-

2

3

，-

2

3

），D′（

10

3

，

10

3

）．

點評：此題主要考查平面直角坐標系中圖形的面積的求法和點的坐標在圖形中的幾何意義．解答此題的關鍵是會利用交點的坐標特點得到有關的線段之間的關系，靈活運用三角形全等的知識和面積的求法進行解題．