Question

如圖1，P₁、P₂、P₃、…、P_n分別是拋物線y=x²與直線y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交點，連接P₁P₂、P₂P₃，…，P_k-1P_k．
（1）求△OP₁P₂的面積，并直接寫出△OP₂P₃的面積；
（2）如圖2，猜想△OP_k-1P_k的面積，并說明理由；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²，其它條件不變，猜想△OP_k-1P_k的面積（直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）求三角形OP₁P₂的面積，要想利用P₁、P₂的坐標就必須通過構(gòu)建三角形，根據(jù)其他三角形的面積的“和，差”關(guān)系來求出三角形OP₁P₂的面積．
過P₂作x軸的垂線交y=x于M，然后過P₁作P₁N⊥P₂M于N，那么三角形OP₁P₂的面積就是三角形OP₂M和P₁P₂M的面積差，然后通過求P₁、P₂、M點的坐標，得出P₂M的長以及以P₂M為底邊的三角形OP₂M和P₁P₂M的高，進而可求出三角形OP₁P₂的面積．
求三角形PO₂P₃的面積時，方法同上．
（2）（3）方法同（1）．

解答：解：（1）∵P₁是拋物線y=x²與直線y=x交點，
由x²=x，解得x₁=1，x₂=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P₁點坐標為（1，1）
同理，可求出P₂點坐標為（2，4）
過P₂作x軸的垂線交直線y=x于M，
過P₁作P₁Q⊥P₂M于N
∵M在直線y=x上，
∴M點坐標為（2，2），
∴P₂M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S_△OP1P2=S_△OMP2-S_△P1MP2=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1．
△OP₂P₃的面積是3

（2）△OP_k-1P_k的面積是

1

2

k（k-1）
方法同（1），求得P_k點坐標為（k，k²），
P_k-1坐標為（k-1，k²-2k+1），
M坐標為（k，k²-k）
∴P_KM=k²-k（k-1）=k
∴S_△OPk-1P_k=

1

2

×k×k-

1

2

×k×1=

1

2

k（k-1）

（3）△OP_k-1P_k的面積是

1

2a2

k（k-1）．

點評：本題結(jié)合三角形面積的求法考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應用，通過構(gòu)建三角形從而利用直線與拋物線的交點來求三角形的面積是解題的基本思路．