Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點B，過點D作OA平行線交⊙O于點C，AC與BD的延長線相交于點E．
（1）試探究AE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，請你思考后，選用以上適當?shù)臄?shù)據(jù)，計算⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）AC與⊙O相切．連接OC．只需證明OC⊥AC即可證明AC與⊙O相切；
（2）①選a、b、c．利用切線的性質證得AC=AB=c．然后根據(jù)平行線分線段成比例推知

EC

AC

=

ED

OD

，最后將已知線段的長度帶入該比例式即可求得⊙O的半徑r．
②選a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=

a2-b2

2b

（參照方法①給分）．

解答：（1）解：AC與⊙O相切．
其理由是：連接OC．
∵OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO．
∵DC∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠COA
∴∠COA=∠BOA．
在△ACO和△ABO中，
∵

OC=OB ∠COA=∠BOA AO=AO

，
∴△ACO≌△ABO（SAS），
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB與⊙O相切，
∴∠ABO=90°，
∴∠ACO=90°，即OC⊥AC．
∴AE與⊙O相切；

（2）答案不唯一
①選a、b、c
∵AC、AB⊙O的切線
∴AC=AB=c．
∵DC∥AO
∴

EC

AC

=

ED

OD

，
∴

a

c

=

b

OD

，
∴OD=

bc

a

，即r=

bc

a

（10分）
②選a、b，用勾股定理建方程，也可求得r=

a2-b2

2b

（參照方法①給分）

點評：本題考查了切線的判定與性質．全等三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．