Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形ABCD沿直線AC折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE．
（1）試判定四邊形ACDE的形狀，說(shuō)明理由；
（2）矩形ABCD中，若AB=a，AD=b（a＜b），求DE的值．

Answer 1

分析：（1）作EG⊥AC于G點(diǎn)，DH⊥AC于H點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到△ABC≌△CDA，AB∥DC，AB=DC，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得△AEC≌△CDA，則EG=DH，所以ED∥AC，由于AE=DC，AE與DC不平行，于是可判斷四邊形ACDE是等腰梯形；
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=

a2+b2

，再根據(jù)等積法得到AD•DC=AC•DH，則DH=

ab a2+b2

a2+b2

，在Rt△DCH中理由勾股了計(jì)算出HC=

a2 a2+b2

a2+b2

，然后根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到ED=GH=AC-2HC=

(b2-a2) a2+b2

a2+b2

．

解答：解：（1）四邊形ACDE是等腰梯形．理由如下：
作EG⊥AC于G點(diǎn)，DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ABC≌△CDA，AB∥DC，AB=DC，
∵矩形ABCD沿直線AC折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，
∴△AEC≌△CDA，AE=DC，
∴EG=DH，
∴ED∥AC，
∵AE=DC，AE與DC不平行，
∴四邊形ACDE是等腰梯形；

（2）∵AB=a，AD=b，
∴DC=a，
∴AC=

a2+b2

，AD•DC=AC•DH，
∴DH=

ab

a2+b2

=

ab a2+b2

a2+b2

，
在Rt△DCH中，HC²=DC²-DH²=a²-（

ab a2+b2

a2+b2

）²=

a4

a2+b2

，
∴HC=

a2 a2+b2

a2+b2

，
而HC=AG，
∴GH=AC-2HC=

(b2-a2) a2+b2

a2+b2

，
∴ED=

(b2-a2) a2+b2

a2+b2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理．