Question

如圖，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求證：CA平分∠DCB．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：由BD為角平分線得到一對角相等，再由已知直角相等得到三角形AOD與三角形BDC相似，由相似三角形對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由對頂角相等，等量代換得到一對角相等，進(jìn)而確定出三角形BCO與三角形BCD相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到∠BCO=∠BDC=∠ADO，再由對頂角相等，AO=BO，利用AAS得到三角形AOD與三角形BOC全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OD=OC，利用等邊對等角及等量代換即可得證．

解答：證明：∵∠A=∠B=90°，BD平分∠ADC，即∠ADO=∠BDC，
∴△ADO∽△BDC，
∴∠AOD=∠BCD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠BCD=∠BOC，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BOC，
∴∠BCO=∠BDC=∠ADO，
在△ADO和△BCO中，

∠ADO=∠BCO ∠AOD=∠BOC OA=OB

，
∴△AOD≌△BCO（AAS），
∴OD=OC，
∴∠OCD=∠BDC，
∴∠OCD=∠BCO，
則CA平分∠DCB．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．