Question

如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，[a，b，c]稱為“拋物線三角形系數(shù)”．
（1）若拋物線三角形系數(shù)為[-1，b，0]的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（2）若△OAB是“拋物線三角形”，其中點B為頂點，拋物線三角形系數(shù)為[-2，2m，0]，其中m＞0；且四邊形ABCD是以原點O為對稱中心的矩形，求出過O、C、D三個點的拋物線的表達式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線三角形系數(shù)為[-1，b，0]，
∴拋物線解析式為y=-x²+bx=-（x-）²+，
∴頂點坐標為（，），
令y=0，則-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴與x軸的交點為（0，0），（b，0），
∵“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
∴=|b|，
∴b²=2b或b²=-2b，
∵b=0時，拋物線與x軸只有一個交點（0，0），
∴b=0不符合題意，
∴b=2或b=-2，
故b的值為2或-2；

（2）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
由拋物線的對稱性，OB=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等邊三角形，
∵拋物線三角形系數(shù)為[-2，2m，0]，
∴拋物線解析式為y=-2x²+2mx=-2（x-）²+，
∴頂點B的坐標為（，），
令y=0，則-2x²+2mx=0，
解得x₁=0，x₂=m，
∴與x軸的交點為（0，0），（m，0），
∴AO=m，
∴=m，
解得m=，
∴點A（，0），B（，），
∵四邊形ABCD是以原點O為對稱中心的矩形，
∴點C（-，0），D（-，-），
設過O、C、D三個點的拋物線為y=ax²+bx（a≠0），
則，
解得，
所以，過O、C、D三個點的拋物線為y=2x²+2x．
分析：（1）把拋物線三角形系數(shù)代入拋物線，令y=0求出點A的坐標，再求出頂點坐標，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊上的高線等于斜邊的一半列出方程求解即可得到b的值；
（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OB，再根據(jù)拋物線的對稱性可得OB=AB，從而判定△AOB是等邊三角形，然后拋物線三角形系數(shù)代入拋物線，令y=0求出點A的坐標，再求出頂點坐標，過然后根據(jù)等邊三角形的高等于邊長的列出方程求出m的值，從而得到點A、B的坐標，再根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)求出C、D的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，讀懂題目信息，理解“拋物線三角形”的定義是解題的關鍵．